福建省福州市2022年初中数学学业质量检查试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（3分）不等式2x＜4的解集是（）A．x＜2B．x＜C．x＞2D．x＞【答案】【解析】解：不等式2x＜4，解得：x＜2，故选A2．（3分）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°，故A错误；B、如图∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2，故B正确；17C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，若AC∥BD，可得∠1=∠2；故C错误；D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，故D错误．故选：B．3．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，故B错误；C、不是轴对称图形，故C错误；D、不是轴对称图形，故D错误．故选：A．4．（3分）福州近期空气质量指数（AQI）分别为：78，80，79，79，81，78，80，80，这些组数据的中位数是（）A．79B．79.5C．80D．80.5【答案】B【解析】解：∵共有8个数据，∴中位数是第4、5个数的平均数，∴中位数是（79+80）÷2=79.5；17故选：B．5．（3分）如图，⊙O中，半径OC=4，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（）A．3B．4C．2D．4【答案】D【解析】分析：连结OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=OC=2，OD⊥AB，再根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD=2，于是得到AB=2AD=4．解：连结OA，如图，∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，∴OD=OC=2，OD⊥AB，∴AD=BD，在Rt△OAD中，∵OA=4，OD=2，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故选：D．6．（3分）因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（）A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．【答案】A【解析】分析：直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：3y2﹣6y+3=3（y2﹣2y+1）=3（y﹣1）2．故选：A．177．（3分）下列计算正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．a9÷a3=a3C．（ab）3=a3b3D．（a5）2=a7【答案】C【解析】分析：根据完全平方公式，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据幂的乘方，可判断D．解答：解：A、和的平方等于平方和加积的二倍，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误．故选：C．8．（3分）如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解析】分析：根据题意作出图形，然后利用量角器测量即可．解答：解：如图，∠AMB=110°．故选B．9．（3分）已知y是x的函数，当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小；当x＜﹣1时，y随着x的增大而增大，满足上述条件的函数图象可能是（）A．B．C．D．17【答案】D【解析】分析：根据一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质对各个选项逐一判断即可．解答：解：A、当x为任意实数时，y随着x的增大而增大，所以A不正确；B、当x＞﹣1时，y随着x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小，所以B不正确；C、在每个象限，y随着x的增大而减小，所以C不正确；D、当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小；当x＜﹣1时，y随着x的增大而增大，故D正确．故选：D．10．（3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为BC边上一点，将△ACD沿AD折叠，当点C落在边AB上时，BD的长为（）A．1.5B．2C．2.5D．3【答案】C【解析】分析：根据勾股定理易求AB=5．根据折叠的性质有AC=AC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．在△BC′D中，设DC′=x，则BD=4﹣x，BC′=5﹣3=2．根据勾股定理可求x，从而得到BD的长度．解答：解：根据题意作图，设C点落在AB上的点为C′，根据题意∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理易AB=5．根据折叠的性质可知：AC=AC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．在△BC′D中，设DC′=x，则BD=4﹣x，BC′=5﹣3=2．故x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5，故BD=4﹣1.5=2.5．故选：C．17二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）如图，∠ABC=90°，∠CBD=40°，则∠ABD的度数是．【答案】50°【解析】分析：由图可得∠ABD=∠ABC﹣CBD，即可解答．解答：解：∠ABD=∠ABC﹣CBD=90°﹣40°=50°，故答案为：50°．12．（4分）已知反比例函数图象过点（3，1），则它的解析式是．【答案】y=【解析】分析：根据待定系数法，可得函数解析式．解答：解：设反比例函数解析式为y=，将（3，1）代入函数解析式，得k=3×1=3，反比例函数解析式为y=，故答案为：y=．13．（4分）如果，那么的值是．【答案】4【解析】分析：利用分式的基本性质，把左边的分子分母同除以2即可得出答案．解答：解：∵，∴=4．故答案为：4．14．（4分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”．掷小正方体后，朝上的一面数字为2的概率是．【答案】【解析】分析：由一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，直接利用概率公式求解即可求得答案．17解答：解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，∴掷小正方体后，朝上的一面数字为2的概率是：=．故答案为：．15．（4分）某企业今年5月份产值为a（1﹣10%）（1+15%）万元，比4月份增加了15%，4月份比3月份减少了10%，则3月份的产值是万元．【答案】a【解析】分析：由题意可知：5月份是4月份的1+15%，4月份是3月份的1﹣10%，利用5月份产值a（1﹣10%）（1+15%）依次除以（1+15%）得出四月份，再除以（1﹣10%）得出三月份的产值即可．解答：解：a（1﹣10%）（1+15%）÷（1+15%）÷（1﹣10%）=a（万元）．答：3月份的产值是a万元．故答案为：a．16．（4分）已知二次函数y=（x﹣1）2﹣t2（t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1=0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣2=0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是．（用“＜”连接）【答案】p＜m＜n＜q【解析】分析：画出二次函数y=（x﹣1）2﹣t2（t≠0）的图象，结合图象向下平移2个单位，即可判断出m，n，p，q的大小．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2﹣t2（t≠0）的图象如右：根据图可知p＜m＜n＜q，故答案为：p＜m＜n＜q．17三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）计算：|﹣|﹣0+（）﹣1．【答案】+3【解析】分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣1+4=+3．18．（7分）化简求值：，其中x=1+，y=1﹣．【答案】原式=x+y，当x=1+，y=1﹣时，原式=2．【解析】分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．解答：解：原式==[=x+y，当x=1+，y=1﹣时，原式=2．19．（8分）解方程：x2+2x﹣5=0．【答案】x=﹣1±【解析】分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：∵x2+2x﹣5=0，∴x2+2x=5，∴x2+2x+1=5+1，∴（x+1）2=6，∴x+1=±，∴x=﹣1±．1720．（8分）如图，已知AC，BD交于点D，AB‖CD，OA=OC，求证：AB=CD．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D．在△ABO和△CDO中，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD．【解析】分析：由AB∥CD就可以得出∠A=∠C，∠B=∠D，根据OA=OC由AAS就可以得出△ABO≌△CDO而得出结论．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D．在△ABO和△CDO中，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD．21．（9分）某校政教处针对同学们对福州地铁建设情况的了解程度进行随机抽样调查，并制成统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）抽样调查的人数共有50人．（2）就福州地铁建设情况随机采访该校一名学生，哪部分学生最可能被采访到，为什么？【答案】（1）5017（2）了解很少的学生最可能被采访到，理由如下：∵了解很少的学生有25人，所占比例为=，大余其它任何一组的学生比例，∴了解很少的学生最可能被采访到．【解析】分析：（1）将各组人数相加即可得出抽样调查的人数；（2）由条形统计图可知，了解很少的学生人数最多，所占的比例最大，所以最可能被采访到．解答：解：（1）抽样调查的人数共有5+25+15+5=50人；故答案为：50．（2）最可能被采访到的是了解很少的学生．理由如下：∵了解很少的学生有25人，所占比例为=，大余其它任何一组的学生比例，∴了解很少的学生最可能被采访到．22．（9分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名同学购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【答案】甲、乙两种票各买20张，15张．【解析】分析：设甲、乙两种票各买x张，y张，根据“共买了35张电影票”“共用750元”作为相等关系列方程组即可求解．解答：解：设甲、乙两种票各买x张，y张，根据题意，得：，解得：，答：甲、乙两种票各买20张，15张．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠B=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【答案】（1）BC=2，AD=2；17（2）S阴影=π﹣﹣2．【解析】分析：（1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．解答：解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，∴AB=4，∴BC==2，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD∴=，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；（2）连接OC，OD，∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°，∵OA=OB，∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，由（1）得∠AOD=90°，∴∠COD=150°，S△AOD=×AO×OD=×22=2，∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．1724．（12分）如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=1，∠A=α，则cosα=，现将△ABC沿AC折叠，得到△ADC，如图2，易知B、C、D三点共线，∠DAB=2α（其中0°＜α＜45°）．过点D作DE⊥AB于点E．∵∠DCA=∠DEA=90°，∠DFC=∠AFE，∴∠BDE=∠BAC=α，∵BD=2BC=2sinα，∴BE=BD•sinα=2•sinα•sinα=2sin2α，∴AE=AB﹣BE=1﹣2sin2α，∴cos2α=cos∠DAE=．阅读以上内容，回答下列问题：（1）如图1，若BC=，则cosα=，cos2α=．（2）求出sin2α的表达式（用含sinα或cosα的式子表示）．【答案】（1），（2）sin2α=2sinα•cosα【解析】分析：（1）先根据勾股定理计算出AC=，则根据正弦和余弦的定义得到cosα=，sinα=BC=，然后根据题中的结论cos2α=1﹣2sin2α进行计算；（2）根据三角函数的定义，在Rt△BDE中得到cos∠BDE=，则DE=2sinα•cosα，然后在Rt△ADE中得到sin∠DAE=，即有sin2α=2sinα•cosα．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=1，BC=，∴AC==，∴cosα=，sinα=BC=，17∴cos2α=1﹣2×（）2=；故答案为：，；（2）根据题意得BD=2sinα，∠BDE=α，在Rt△BDE中，∵cos∠BDE=，∴DE=BD•cosα=2sinα•cosα，在Rt△ADE中，∵sin∠DAE=，∴sin2α==2sinα•cosα．25．（13分）如图，△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10，点P在AC边上，点M、N在AB边上（点M在点N的左侧），PM=PN，且∠MPN=∠A，连接CN．（1）当CN⊥AB时，求BN的长；（2）求证：AP=AN；（3）当∠A与△PNC中的一个内角相等时，求AP的长．【答案】（1）（2）∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∵∠MPN=∠A，∴∠PMN=∠A+APM=∠MPN+∠APM=∠PNA．即∠APN=∠ANP，∴AP=AN；（3）AP=5，或AP=．【解析】分析：（1）先证出∠ACB=90°，再根据CN⊥AB得出AB•CN=AC•BC，10•CN=8×6，再计算即可；17（2）根据PM=PN得出∠PMN=∠PNM，根据∠MPN=∠A得出∠APN=∠ANP，从而证出AP=AN；（3）当∠A=∠PNC时，先证出MP∥NC，过点P作PD⊥MN于点D，根据PM=PN得出tan∠PAD=tan∠BAC=，设PD=3x，则AD=4x，AP=AN=5x，MD=x，AM=3x，最后根据MP∥NC，得出=，即=求出x即可．解答：解：（1）∵AC=8，BC=6，AB=10，∴AC2+BC2=82+62=102=AB2，∴∠ACB=90°，∵CN⊥AB，∴AB•CN=AC•BC，∴10•CN=8×6，∴CN=4.8，∴BN===；（2）∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∵∠MPN=∠A，∴∠PMN=∠A+APM=∠MPN+∠APM=∠PNA．即∠APN=∠ANP，∴AP=AN；（3）∵∠CPN＞∠A，故∠A=∠CPN的情况不存在，∴分两种情况讨论，当∠A=∠ACN时，则AN=NC，∠NCB=∠B，∴AN=NC=NB=AB=5，由（2）得AP=5，当∠A=∠PNC时，∵∠MPN=∠A，∴∠MPN=∠PNC，17∴MP∥NC，过点P作PD⊥MN于点D，∵PM=PN，∴MD=ND，tan∠PAD=tan∠BAC===，设PD=3x，则AD=4x，∴AP=AN==5x，∴MD=ND=5x﹣4x=x，∴AM=3x，∵MP∥NC，∴=，即=，∴AP=5x=．26．（13分）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（2，0），点B（﹣1，0），C是抛物线在第一象限内的一点，且tan，M是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M的横坐标为m，若直线OC上存在点D，使∠ADM=90°，求m的取值范围；（3）当点M关于直线OC的对称点N落在抛物线上时，求点M的坐标．【答案】（1）y=x2﹣x﹣2（2）m≤3﹣或m≥3+17（3）（﹣，0）或（5，0）【解析】分析：（1）根据抛物线y=x2+bx+c过点A（2，0），点B（﹣1，0），根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）分三种情况：当以AM为直径的⊙P与直线OC相切时，直线OC上存在点D（即切点），使∠ADM=90°；当⊙P与OC相交时，存在点D（即交点）；当⊙P与OC相离时，不存在．如图，设⊙P与OC相切于点Q，连结PQ．根据勾股定理得到关于m的方程，解方程即可得到m的取值范围；（3）如图，连结MN交直线OC于点E，过点N作NF⊥OM于点F．根据三角函数和三角形面积公式，由对称性可知，当m＞0时，点N在第一象限；当m＜0时，点N在第三象限；得到点N的坐标为（m，m），把N（m，m）代入y=x2﹣x﹣2中，得到关于m的方程，解方程即可求解．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（2，0），点B（﹣1，0），∴，解得．故抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）当以AM为直径的⊙P与直线OC相切时，直线OC上存在点D（即切点），使∠ADM=90°，当⊙P与OC相交时，存在点D（即交点）；当⊙P与OC相离时，不存在．如图，设⊙P与OC相切于点Q，连结PQ．则PQ=AM=|2﹣m|，∴OQ==|2﹣m|，OP=|2+m|．∵OQ2+PQ2=OP2，∴（2﹣m）2+[（2﹣m）]2=[（2+m）]2，化简得m2﹣6m+4=0，17解得m1=3﹣，m2=3+．∴当m≤3﹣或m≥3+时，直线OC上存在点D，使∠ADM=90°．（3）如图，连结MN交直线OC于点E，过点N作NF⊥OM于点F．∵tan=，∴OE=2EM．∵OE2+EM2=OM2，∴4EM2+EM2=m2，∴EM=|m|．∴OE=|m|，MN=2EM=|m|，∵OM•NF=MN•OE，∴NF==|m|．由对称性可知，当m＞0时，点N在第一象限；当m＜0时，点N在第三象限；∴点N的坐标为（m，m），把N（m，m）代入y=x2﹣x﹣2中，得m2﹣m﹣2=m，化简得9m2﹣35m﹣50=0，解得m1=﹣，m2=5．综上所述，M的坐标为（﹣，0）或（5，0）．17
