福建省三明市尤溪县2022年初中数学学业质量检测试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）﹣2是2的（）A．倒数B．绝对值C．平方根D．相反数【答案】D【解析】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．解答：解：﹣2是2的相反数，故选：D．2．（4分）将6.18×10﹣3化为小数是（）A．0.000618B．0.00618C．0.0618D．0.618【答案】B【解析】分析：利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可．解答：解：∵0.00618=6.18×10﹣3，∴6.18×10﹣3=0.00618，故选：B．3．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解答：解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．4．（4分）菲尔兹奖（Fields18Medal）是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家．对截至2022年获奖者获奖时的年龄进行统计，整理成下面的表格．组别第一组第二组第三组第四组年龄段（岁）27＜x≤3131＜x≤3434＜x≤3737＜x≤40频数（人）8111720则这56个数据的中位数落在（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【答案】C【解析】分析：根据中位数的定义可知，第28、第29两个数的平均数为中位数．解答：解：题目中数据共有56个，故中位数是按从小到大排列后第28、第29两个数的平均数，而第28、第29两个数均在第三组，故这组数据的中位数落在第三组．故选C．5．（4分）如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】C【解析】分析：先根据补角的定义求出∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．解答：解：∵∠BAE=40°，∴∠CAB=180°﹣40°=140°．∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=140°．故选C．6．（4分）刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”设王老师今年x岁，刘俊今年y岁，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．18C．D．【答案】D【解析】分析：设王老师今年x岁，刘俊今年y岁，根据题意列出方程组解答即可．解答：解：王老师今年x岁，刘俊今年y岁，可得：，故选D7．（4分）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象没有公共点，则（）A．k1k2＜0B．k1k2＞0C．k1+k2＜0D．k1+k2＞0【答案】A【解析】分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．解答：解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，∴k1与k2异号，即k1•k2＜0．故选：A．8．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．∠ACB=60°B．∠B=60°C．AB=BCD．AC=BC【答案】D【解析】分析：首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．解答：解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB平行且等于CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选：D．189．（4分）如图，把图形折叠起来，它会变为下面的哪幅立体图形（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据正方体的展开图中6个面的关系分别对四个选项进行判断．解答：解：A、有O的一面所对的面没记号，还有两个没记号的面相对，所以A选项错误；B、有O的一面与没记号的面和有横线的面相邻，所以B选项正确；C、有横线的两面相对，所以C选项错误；D、横线与O的位置关系不对，所以D选项错误．故选B．10．（4分）如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（）A．随P点运动而变化，最大值为B．等于C．随P点运动而变化，最小值为D．随P点运动而变化，没有最值【答案】B【解析】分析：当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，求出EF的长，得到MN的长，根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系得到答案．解答：解：如图，当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，根据垂径定理，MN=EF，18∵∠AOD=120°，PM⊥AB，∴∠PMN=30°，∠P=60°，在Rt△PEF中，PE=4，则EF=2，∴MN=，点P移动时，由题意，∠P=60°，根据在同圆中，圆周角相等，所对的弧相等，弦也相等，即弦长为2，∴MN=，故选：B．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）因式分解：xy2﹣4x=．【答案】x（y+2）（y﹣2）【解析】分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：xy2﹣4x，=x（y2﹣4），=x（y+2）（y﹣2）．12．（4分）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=.【答案】2分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，故答案为：2．13．（4分）小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是.【答案】【解析】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况，再利用概率公式即可求得答案．18解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两同学同时出“剪刀”的有1种情况，∴两同学同时出“剪刀”的概率是：．故答案为：．14．（4分）一个扇形的弧长是20πcm，半径是24cm，则此扇形的圆心角是度．【答案】150【解析】分析：直接利用弧长公式l=即可求出n的值，计算即可．解答：解：根据l===20π，解得：n=150，故答案为：150．15．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．【答案】【解析】分析：利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．解答：解：设OH=x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，18∴AO=2xm，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO=3xm，则AO+BO=2x+3x=3m，解得；x=．故答案为：．16．（4分）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，﹣1的差倒数为=．记，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2=；a2022=.【答案】2，2【解析】分析：首先根据a1=，可得a2=，a3=，，…，所以这列数是、2、﹣1、、2、﹣1、…，每3个数是一个循环；然后用2022除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a2022的值是多少即可．解答：解：因为a1=，所以a2=，a3=，，…，所以这列数是、2、﹣1、、2、﹣1，…，每3个数是一个循环，因为2022÷3=671…2，所以a2022=2．18故答案为：2、2．三、解答题（共7题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（7分）计算：|﹣3|+（2﹣π）0+（﹣）﹣1．【答案】1【解析】分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3+1﹣3=1．18．（7分）化简并求值：．其中：a=，b=．【答案】化简后为：代入a,b的值后求值结果为：【解析】分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣==，当a==2，b=时，原式=．19．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1≤x≤3．【解析】分析：首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．解答：解：由①式得x≥﹣118由②得x≤3所以﹣1≤x≤3．20．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE和CD是中线．（1）求证：BE=CD．（2）求的值．【答案】（1）证明：∵AB=AC，BE和CD是中线，∴AD=AB，AE=AC，∴AD=AE，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）．【解析】分析：（1）由三角形全等得到对应边相等，证得结论；（2）由相似三角形得到对应边的比相等，再根据三角形的中位线定理得到对应边的比等于．解答：解：（1）证明：∵AB=AC，BE和CD是中线，∴AD=AB，AE=AC，∴AD=AE，在△ABE与△ACD中，，18∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）∵BE和CD是中线，∴AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DEO∽△BCO，∴==．21．（10分）如图所示，A、B两个旅游点从2022年至“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2022年到2022年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人．A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量．已知游客数量y（万人）与门票价格x（元）之间满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？【答案】（1）2022年；（2）从2022年至2022年清明小长假期间，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动更大一些；（3）20．【解析】分析：（1）认真审图不难看出B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2022年；（2）根据平均数和方差的计算公式求出甲乙的平均数与方差，然后根据方差的大小两个旅游点的情况进行评价；（3）根据函数的解析式y=5﹣≤4来确定应提高票价多少元．18解答：解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2022年；（2）==3（万人），==3（万人）．SA2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，SB2=[（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=．从2022年至2022年清明小长假期间，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动更大一些；（3）由题意，得5﹣≤4，解得x≥100，x﹣80≥100﹣80=20．答：A旅游点的门票至少要提高20元．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣6=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【答案】（1）k＜；（2）1或2．【解析】分析：（1）根据一元二次方程的定义和△的意义得到△=22﹣4×1×（3k﹣6）=﹣12k+28＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围；（2）由（1）的范围得到k=1或k=2，然后把k=1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k值即可．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣6=0有两个不相等的实数根，△=22﹣4×1×（3k﹣6）=﹣12k+28＞0，∴k＜，∴k的取值范围是k＜；（2）∵k为正整数，∴k=1或k=2，18当k=1时，原方程为x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，当k=2是，原方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2，∴k的值为1或2．23．（10分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，sinF=时，求BD的长．【答案】（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠1．又∵∠4=2∠1，∴∠4=∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；18（2）9【解析】分析：（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；（2）连结AD．先解Rt△BEF，得出BE=BF•sinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB=15，∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理证明∠F=∠BAD，则由sin∠BAD==，求出BD的长．解答：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠1．又∵∠4=2∠1，∴∠4=∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）解：连结AD．在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=，∴BE=BF•sinF=3．∵OC∥BE，18∴△FBE∽△FOC，∴．设⊙O的半径为r，∴，∴．∵AB为⊙O直径，∴AB=15，∠ADB=90°，∵∠4=∠EBF，∴∠F=∠BAD，∴，∴，∴BD=9．24．（12分）已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．18【答案】（1）二次函数y=﹣x2+2x+6，顶点坐标（2，8）；（2）当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．【解析】分析：（1）首先求出x2﹣4x﹣12=0的两根，进而求出点A和点B的坐标，利用待定系数法列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，即可求出二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，连接AQ，用m表示出△CPQ的面积，利用二次函数的性质，求出当△CPQ的面积最大时，点P的坐标．解答：解：（1）由x2﹣4x﹣12=0，解得x=﹣2或x=6，点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根，故A（﹣2，0）、B（6，0），则，解得．故二次函数y=﹣x2+2x+6，顶点坐标（2，8）；（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，连接AQ，直线BC的解析式为y=﹣x+6，直线AC的解析式为y=3x+6，设Q点坐标为（a，6﹣a），由PQ∥AC，可知，解得a=，6﹣a=（6﹣m），S△CPQ=S△APQ=（m+2）•（6﹣m），=﹣（m2﹣4m﹣12）=﹣（m﹣2）2+6，当m=2时，S最大=6，所以，当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．1825．（14分）如图1，△ABC中，点A、B、C三点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（﹣1，0）；如图2，将△ABC绕点C顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△DEC，点A和点D对应，作EF⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为F点和G点．（1）当∠α=30°时，求D、E两点的坐标；（2）当∠α为何值时，△DEC、△EFC和△DCG都相似；（3）在旋转过程中，若抛物线经过D、E、C三点，请求出一条以y轴为对称轴的抛物线的解析式．【答案】【解析】分析：（1）由旋转的性质可知CE=BC=2，∠ECF=30°，进而可求出EF，CF的长，所以点E的坐标可求出；同理即可求出点D的坐标；（2）若使△DEC、△EFC和△DCG都相似，则旋转角不确定，所以要分四种情况分别讨论：当∠α=30°时，当∠α=60°时，当∠α=120°时，当∠α=150°时；（3）由（2）②可知，当∠α=60°时，点E、D关于y轴对称，此时抛物线的对称轴为y轴，易求E（﹣2，）、D（2，），设y=ax2+c，代入C（﹣1，0）、D（2，），求出a和c的值即可得到抛物线解析式．解答：解：（1）∵点A、B、C三点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，0），C18（﹣1，0），∵AC=2，BC=2，∵将△ABC绕点C顺时针旋转∠α=30°得△DEC，点A和点D对应，∴CE=BC=2，∠ECF=30°，∴EF=CE=1，FC=，∴FO=1+∴E（﹣1﹣，1），同理可得：点D（﹣1+，3）；（2）①如图2，当∠α=30°时，△DEC、△EFC和△DCG都相似．理由如下：∵A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（﹣1，0），∴BC=2，AC=2，∠ACB=90°，∴AB=4，∴sinA=，∴∠A=30°，∠ABC=60°，∴△DEC中，∠EDC=30°，∠DEC=60°，∠ECD=90°，∵∠ECF=30°，∠ECD=90°，∴∠DCG=60°，∴∠CDG=30°，∴在△DEC、△EFC和△DCG中：∠EDC=∠ECF=∠CDG=30°，∠ECD=∠EFC=∠CGD=90°，∴△DEC∽△CEF∽△DCG．同理可得以下三种情况：②如图3，当∠α=60°时，△DEC∽△ECF∽△CDG；③如图4，当∠α=120°时，△DEC∽△ECF∽△CDG；④如图5，当∠α=150°时，△DEC∽△CEF∽△DCG．（3）由（2）②可知，当∠α=60°时，点E、D关于y轴对称，此时抛物线的对称轴为y轴．易求：E（﹣2，）、D（2，），18设y=ax2+c，代入C（﹣1，0）、D（2，），得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣．18
