2022年福建省三明市建宁县初中学业质量检查数学试卷 一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都只有一个正确答案，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）（2022•建宁县质检）以下各数中，无理数是（ ） A．B．﹣1.2525C．D．考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、是无理数，选项正确；B、是分数，是有理数，选项错误；C、=4是整数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选A．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．（4分）（2022•锦州）太阳的直径约为1390000千米，这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.139×107千米B．1.39×106千米C．13.9×105千米D．139×104千米考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：1390000=1.39×106千米．故选B．点评：用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 3．（4分）（2022•建宁县质检）下列计算正确的是（ ） A．B．C．D．考点：二次根式的混合运算．分析：以及合并同类二次根式，以及算术平方根的定义，以及二次根式的乘法法则即可求解．解答：解：A、3﹣=2，选项错误；B、不是同类二次根式，不能合并，选项错误；C、=4，选项错误；D、正确．故选D．点评：本题考查了二次根式的运算，正确理解合并同类二次根式的法则是关键． 4．（4分）（2022•建宁县质检）以下是一个正方体的展开图的是（ ）13 A．B．C．D．考点：几何体的展开图．分析：A出现了“田”字格，故不能，B折叠后上面两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体，D折叠后，上面的两个面重合，不能折成正方体，故选C．解答：解：A出现了“田”字格，故不能，B折叠后上面两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体，D折叠后，下面的两个面重合，不能折成正方体．故选C．点评：此题主要考查了正方体展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键． 5．（4分）（2022•建宁县质检）一个角的余角是这个角补角的三分之一，则这个角是（ ） A．30°B．60°C．45°D．90°考点：余角和补角．分析：设这个角为x，分别表示出它的余角和补角，然后可得出方程，解出即可．解答：解：设这个角为x，则余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），由题意得，（90°﹣x）=（180°﹣x），解得：x=45，即这个角为45°．故选C．点评：本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为180°，互补的两角之和为180°． 6．（4分）（2022•建宁县质检）小明调查了九年级某班第一组的12个同学的年龄，其中14岁的6个，15岁的4个，16岁的2个，这里的众数和中位数分别是（ ） A．14岁、14.5岁B．14岁、15岁C．16岁、15岁D．14岁、16岁考点：众数；中位数．分析：根据众数和中位数的定义求解即可．解答：解：在这一组数据中14岁是出现次数最多的，故众数是14岁；这组数据按顺序排列为：14，14，14，14，14，14，15，15，15，15，16，16，中位数是（14+15）÷2=14.5．故选A．点评：本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义． 7．（4分）（2022•长沙）在同一直角坐标系中，函数y=3x与图象大致是（ ） A．B．C．D．13考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象．分析：分别根据正比例函数和反比例函数图象的性质解答即可．解答：解：一次函数y=3x中k=3＞0，其图象在一、三象限；反比例函数y=﹣中，k=﹣1，其图象在二、四象限．故选D．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 8．（4分）（2022•建宁县质检）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则C点到AB的距离为（ ） A．B．C．D．考点：勾股定理；三角形的面积．分析：根据题意作出图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB==15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD===，则点C到AB的距离是．故选B．点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．（4分）（2022•建宁县质检）已知⊙O的周长为6π，若某直线l上有一点到圆心O的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相交B．相切C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．分析：首先根据圆的周长求得圆的半径，然后根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系得到两圆的位置关系即可．13解答：解：∵⊙O的周长为6π，∴⊙O的半径为3，∵直线l上有一点到圆心O的距离为3，∴圆心到直线的距离小于或等于3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切，故选D．点评：考查直线与圆位置关系的判定．要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系，本题中P到圆心的距离没有明确是圆心到直线的距离，所以运用分类讨论是正确解题的关键所在． 10．（4分）（2022•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ） A．80°B．160°C．100°D．80°或100°考点：圆周角定理．专题：压轴题．分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠AB′C的度数．解答：解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解． 二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）（2022•湛江）掷一枚硬币，正面朝上的概率是 ．考点：概率公式．分析：掷一枚硬币有2种情况，满足条件的有一种，用1除以2即可得出概率的值．解答：解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，∴正面朝上的概率是P=；故本题答案为：．点评：此题考查了概率公式，考查等可能条件下的概率计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13 12．（4分）（2022•建宁县质检）在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：计算题．分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标．解答：解：∵点（﹣3，2）关于x轴对称，∴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．故答案为（﹣3，﹣2）．点评：本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单． 13．（4分）（2022•佛山）一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是 5 ．考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．解答：解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=540°，解得n=5，故答案为：5．点评：本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解． 14．（4分）（2022•建宁县质检）写出一个二次函数的解析式，使它满足其图象的顶点坐标为（0，﹣3），这个二次函数可以是 y=x2﹣3 ．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：利用顶点式解析式写出一个即可．解答：解：∵二次函数的顶点坐标为（0，﹣3），∴函数解析式可以为y=x2﹣3（答案不唯一）．故答案为：y=x2﹣3．点评：本题考查了二次函数的性质，比较简单，掌握顶点式解析式便不难求解． 15．（4分）（2022•建宁县质检）一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB=120°，则储水部分（阴影部分）的面积是 平方米．考点：垂径定理的应用；扇形面积的计算．专题：探究型．13分析：过点O作OC∠AB于点C，由垂径定理可求出AB、OC的长，再由S阴影=S扇形AOB﹣S△AOB即可得出结论．解答：解：过点O作OC∠AB于点C，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAB===30°，∴AC=OA•cos30°=2×=m，OC=OA=×2=1m，∴AB=2AC=2m，∴S阴影=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查的是垂径定理的应用及扇形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 16．（4分）（2022•建宁县质检）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3┅按如图放置，其中点A1、A2、A3┅在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3┅在直线y=﹣x+2上，依此类推┅，则点An的坐标为 （，0）或（，0）或（，0） ．考点：一次函数综合题．专题：压轴题；规律型．分析：首先根据直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，从而求得A1，A2，A3…的坐标，得到规律，据此即可求解．解答：解：∵四边形OA1B1C1是正方形，∴A1B1=B1C1．∵点B1在直线y=﹣x+2上，∴设B1的坐标是（x，﹣x+2），∴x=﹣x+2，x=1．∴B1的坐标是（1，1）．∴点A1的坐标为（1，0）．∵A1A2B2C2是正方形，∴B2C2=A1C2，∵点B2在直线y=﹣x+2上，∴B2C2=B1C2，∴B2C2=A1B1=，∴OA2=OA1+A1A2=1+，∴点A2的坐标为（1+，0）．同理，可得到点A3的坐标为（1++，0）．依此类推，可得到点An的坐标为（，0）．13==．故答案为（，0）或（，0）或（，0）．点评：此题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 三、解答题：（共7题，满分86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（14分）（2022•建宁县质检）（1）计算：（2）化简：．考点：分式的混合运算；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项化为最简二次根式，最后一项利用二次根式的乘法法则计算，即可得到结果；（2）原式第一项利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解答：（1）解：原式=﹣3+×4=﹣3；（2）解：原式=•﹣=﹣=．点评：此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 18．（16分）（2022•建宁县质检）（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来；（2）如图2：已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．①求∠ECD的度数；②若CE=8，求BC长．13考点：线段垂直平分线的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解；（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EC=EA，然后根据等边对等角的性质可得∠ECD=∠A；②根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠ACB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC，从而得到∠BEC=∠B，然后根据等角对等边的性质解答．解答：（1）解：，由①得，x＜4，由②得，x≥﹣2，在数轴上表示如下：所以，原不等式组的解集为﹣2≤x＜4；（2）解：①∵DE是AC的垂直平分线，∴EC=EA，∴∠ECD=∠A=36°；②∵∠B=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=CE=8．点评：（1）考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示；（2）考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 19．（10分）（2022•建宁县质检）某校有200名学生报名参加区数学竞赛，为了选送优秀选手，进行了校内的初赛，并从中随机抽取了50名学生，将他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分），整理并制作了如图所示的统计图（部分）．根据图中的信息，回答下列问题：（1）第四组的频数为 3 ．（2）估计该校这次初赛成绩在60～69分数段的学生约有 80 名．（3）若将抽样中的第四、第五组的学生随机挑选2名参加提高班．请用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在第五组的概率．13考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；列表法与树状图法．分析：（1）本题需先根据图中所给的数据，再根据在学校中随机抽取了50名学生，即可求出第四组的频数．（2）本题需先根据初赛成在60～69数段在图中的数据，即可求出在这个段中的学生数．（3）本题需先根据第四、第五组的学生总数，再根据随机挑选2名参加提高班，即可求出第五组的概率．解答：解：（1）第四组的频数为：50﹣2﹣10﹣15﹣20=3；（2）估计该为次初赛成在60～69数段的学生约有=80（名）（3）挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在第五组的概率为=；故答案为：3，80点评：本题主要考查了频数（率）分布直方图，在解题时必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（10分）（2022•建宁县质检）小亮到某零件加工厂作社会调查，了解到该工厂实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的薪酬方法来激励工人的工作积极性，并获得甲、乙两个工人的信息如下：甲：月生产零件数200个，月总收入2000元；乙：月生产零件数250个，月总收入2300元；设每个工人的月基本工资都是a元，生产每个零件的奖金是b元．（1）求a、b的值；（2）若某工人的月总收入不低于3000元，那么他当月至少要生产零件多少个？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）根据题意甲：月生产零件数200个，月总收入2000元；乙：月生产零件数250个，月总收入2300元；列出方程组，求得a、b的值即可；（2）设小王当月生产零件x件，依题意列出不等式6x+800≥3000，求得解集，再求x的最小值．解答：解：（1）依题意得：，解得：，经检验，符合题意．答：a的值为800、b的值为6．（2）设他当月至少要生产零件x个，依题意得：800+6x≥3000，解得：x≥，∵x只能为正整数，13∴x=367．答：该工人当月至少要生产零件367个．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解． 21．（10分）（2022•建宁县质检）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，BC交⊙O于点D，∠CAD=∠B．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）BD=8，点O到BC的距离为3，求cos∠C的值．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）求出∠ADB=90°，求出∠B+∠DAB=90°，推出∠CAD+∠DAB=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据垂径定理求出BE长，根据勾股定理求出OB，求出∠C=∠EOB，在Rt△BOE中，求出∠EOB的余弦值即可．解答：（1）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°，∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠DAB=90°，∴∠CAB=90°，又∵AB为⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于E，则OE=3，在⊙O中，BD=8，∴BE=BD=4，∴在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB=5，∵∠C+∠B=90°，∠EOB+∠B=90°，∴∠C=∠EOB，∴cosC=cos∠EOB==．13点评：本题考查了勾股定理、切线的判定、锐角三角函数的定义、三角形的内角和定理等知识点，关键是求出∠CAB=90°和求出∠EOB的余弦值，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 22．（12分）（2022•临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．解答：（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）解：存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴=，13设AM=x，则=，整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，（3）解：不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程没有实数根，∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质．此题难度较大，解此题的关键是利用相似的性质构造方程，然后利用判别式求解． 23．（14分）（2022•建宁县质检）如图：已知抛物线（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点A，且点B在点C的左侧．（1）若该抛物线过点M（2，2），求这个抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，请在第四象限内的该抛物线上找到一点P，使△POC的面积等于△ABC面积的，求出P点坐标；（3）在（1）的条件下，请在抛物线的对称轴上找到一点H，使BH+AH最小，并求出H点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）将点M的坐标代入抛物线解析式可求出m的值，继而确定抛物线解析式；（2）先求出点B、点C的坐标，然后求出△ABC的面积，根据△POC的面积等于△ABC面积的，求出点P的纵坐标，代入抛物线可求出横坐标．（3）点C是点B关于对称轴的对称点，连接AC，则AC与对称轴的交点是点H的位置，求出其坐标即可．解答：解：（1）把点M（2，2）代入二次函数的解析式得：，解得：m=4．13故所求二次函数为：．（2）易求得原抛物线与x轴的交点为B（﹣2，0），C（4，0），则BC=6，，设点P的坐标为（x，y），由题意得，=，整理得：x2﹣2x﹣24=0，解得：x1=﹣4，x2=6，∵P点在第四象限，∴x=6，y=﹣4，∴P（6，﹣4）．（3）易求得原抛物线的对称轴为直线x=1，连接AC，设AC所在的直线解析式为y=kx+b，则有，解得：，故AC所在的直线解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，故点H的坐标为：（1，），即当H点的坐标为：（1，）时，BH+AH最短．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径及三角形的面积，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通． 13
