1.3勾股定理的应用北师大版数学八年级上册NEPQR12,在同一平面内，两点之间,线段最短从行政楼A点走到教学楼B点怎样走最近？教学楼行政楼BA你能说出这样走的理由吗？导入新知,1.灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.2.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.素养目标,以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题.讨论1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？BA我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！探究新知知识点1利用勾股定理解答最短路径问题,BAdABA'ABBAO想一想蚂蚁走哪一条路线最近？A'蚂蚁A→B的路线探究新知,若已知圆柱体高为12cm，底面周长为18cm，则:BArO12侧面展开图1218÷2AB小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'AB2=122+(18÷2)2所以AB=15.探究新知,例1有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.因为AA'=2×3×2=12,A'B'=5m,所以AB'=13m.即梯子最短需13米.素养考点1利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题探究新知,数学思想：立体图形平面图形转化展开探究新知,如图所示,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路程是多少?(π取3)3勾股定理的应用变式训练巩固练习,解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20cm,BC=×2×π×5=15(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252,所以AB=25cm,最短路程是25cm.3勾股定理的应用巩固练习,B牛奶盒A例2学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？6cm8cm10cm素养考点2利用勾股定理解决长方体的最短路线问题探究新知,长方体爬行路径ABFEHGABCDEFGH前（后）上（下）ABCDEFGHBCGFEHABCDEFGH右（左）上（下）前（后）右（左）BCAEFG分析探究新知,BB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296AB22=82+（10+6）2=320AB32=62+（10+8）2=360因为360＞320＞296所以AB1最短.探究新知,AB点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？前上ABAB左上AB前右变式训练巩固练习,ABC解:如图所示在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=202+102=500101010所以AB2=500.巩固练习,李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.AB2+BC2=AC2△ABC为直角三角形知识点2利用勾股定理的逆定理解答实际问题探究新知,（2）量得AD长是30cm，AB长是40cm，BD长是50cm.AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.探究新知,（3）若随身只有一个长度为20cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.探究新知,例如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m，AD=BC=6m，AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m，所以AB2+BC2=82+62=64+36=100.又因为AC2=92=81，所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°，所以该农民挖的不合格．素养考点1利用勾股定理的逆定理解答测量问题探究新知,有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，有x2=1.52+22,x=2.5故，最长是2.5+0.5=3(米)答:这根铁棒的最长3米，最短2米.故，最短是1.5+0.5=2(米)当最短时:x=1.5ACB最短是多少米？变式训练巩固练习,如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.故滑道AC的长度为5m.解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长也为xm，AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5.例知识点3利用勾股定理解答长度问题探究新知,甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点.则:AB=2×6=12(千米),AC=1×5=5(千米).在Rt△ABC中,所以BC=13(千米)即甲乙两人相距13千米.BC2=AC2+AB2=52+122=169=132巩固练习,解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD2=AB2+AD2，所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.所以S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=BD•CD-AB•AD=×(5×12-3×4)=24(cm2)．CBAD例如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.素养考点1利用勾股定理的逆定理解答面积问题探究新知,如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积.解:因为S△ACD=30cm2，DC=12cm.所以AC=5cm.又因为AB2+BC2=32+42=52=AC2,所以△ABC是直角三角形,∠B是直角.所以DCBA变式训练S△ACD=CD•AC=×12×AC=30（cm2）S△ABC=AB•BC=×3×4=6（cm2）巩固练习,如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===故答案为20．2020（cm）连接中考,BB基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）DA.B.C.D.课堂检测,2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的()A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上D.无法确定B基础巩固题课堂检测,3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又因为A，B两组相距30km，且有242+182=302，所以A，B两组行进的方向成直角．基础巩固题AOB课堂检测,4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米.问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?车速检测仪小汽车30米30°北60°解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/时>70千米/时所以小汽车超速了.2秒后50米40米基础巩固题课堂检测,如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312能力提升题课堂检测,解：连接AC.在Rt△ABC中，AC===5,在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.能力提升题ADBC341312课堂检测,如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．拓广探索题PCBAQ课堂检测,解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，因为周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得PQ==3(cm).拓广探索题所以3x+4x+5x=36，解得x=3.PCBAQ课堂检测,勾股定理及逆定理的应用应用最短路径问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题解决不规则图形面积问题测量问题课堂小结,作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业
