1.2一定是直角三角形吗（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）北师大版数学八年级上册,小明找来了长度分别为12cm,40cm的两根线,利用这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图形,他画的是直角三角形吗?问题思考导入新知,1.探索和掌握勾股定理的逆定理，并能理解勾股数的概念.2.经历证明勾股定理的逆定理的过程，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.素养目标,据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗？知识点1勾股定理的逆定理探究新知,345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．探究新知,问题1用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是做一做下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17．探究新知,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？因为32+42=52，所以满足.a2+b2=c2探究新知,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题4据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.探究新知,已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.ABbc证明：作∆A1B1C1在△ABC和△A1B1C1中，Ca求证：∠C=90°.使∠C1=90°根据勾股定理，则有所以∠C=∠C1=90°.BAB1C1=a，C1A1=b,A1B12=B1C12+C1A12=a2+b2因为a2+b2=c2所以A1B1=c，所以AB=A1B1≌所以∆ABC∆A1B1C1，abC1A1B1BC=B1C1CA=C1A1AB=A1B1探究新知,符号语言：在△ABC中，若a2+b2=c2则△ABC是直角三角形.提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.bcCaBA勾股定理的逆定理：探究新知,例下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=20，c=25;解：(1)因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.(2)因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.素养考点1利用勾股定理的逆定理判断直角三角形点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.探究新知,下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是()A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.6,10,8D变式训练巩固练习,一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗?勾股定理的逆定理的应用知识点2例探究新知,分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就可以判定是直角三角形.解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以△ABD是直角三角形,∠A是直角.在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.因此,这个零件符合要求.探究新知,方法点拨勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.探究新知,如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.412243解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形,由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25,所以BE2+EF2=BF2,所以△BEF是直角三角形.巩固练习,知识点3勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.探究新知,下列各组数是勾股数的是()A.3，4，6B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D温馨提示：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.巩固练习,已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B连接中考,1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA基础巩固题课堂检测,3.若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以△ABC是直角三角形，且∠C是直角.课堂检测基础巩固题,A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：因为AB2+BC2=122+52=144+25=169，AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.能力提升题课堂检测,如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE=CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．拓广探索题课堂检测,解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC=a，BE=3a，CF=DF=2a.在Rt△ABE中，得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.在Rt△CEF中，得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.在Rt△ADF中，得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.在△AEF中，AE2=EF2+AF2，所以△AEF为直角三角形，且AE为斜边．所以∠AFE=90°，即AF⊥EF.拓广探索题课堂检测,勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股数一定是正整数勾股数课堂小结,作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业
