2022-2022学年度上学期期中考试高二数学（理）试题【新课标】一．单选题（每小题5分，共60分，其中只有一个答案是正确）1.“”是“”的(）A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件2．已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则p的否定形式为( )A．∃x∈R，x<sinxB．∀x∈R，x≤sinxC．∃x∈R，x≤sinxD．∀x∈R，x<sinx3．在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（）A．33B．72C．84D．1894.已知变量x、y满足，则的最大值为（）A．16B．8C．6D．45.已知数列｛an｝的前n项和，那么它的通项公式为=()A.B.C.D.6．下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．已知x，则“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件C．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件7.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和为（）A．138B．135C．95D．238．已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-2），（0，2），并且经过点，则椭圆的方程是()A．B．C．D．9．已知x>0,y>0,,则x+y的最小值为()A.6B.12C.18D.2410.在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则a的取值范围为（）A． B． C． D．11．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4\n12．各项均不为零的等差数列中，则等于（）A．4024B．4018C．2022D．1006二.填空题（每小题5分，共20分）13.若则的最小值是_________.14．在公差不为0的等差数列成等比数列，则该等比数列的公比.15．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.16．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，求弦AB的长_______.三.解答题(6道题，共70分)17．（本小题满分10分）已知点A（3，0）为圆x2+y2=1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程。并说明它表示什么曲线。18．（本小题满分12分）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．墙19．（本小题满分12分）动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成.（1）现有可围36m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？（2）若使每间虎笼的面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20．（本小题满分12分）等比数列{an}的各项均为正数，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．(本小题满分12分)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的nN+，都有。（1）写出数列{an}的前3项；（2）求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；（3）设，是数列{bn}的前n项和，求使得对所有nN+都成立的最小正整数的值。22．（本小题满分12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．参考答案4\n一．BCCDA，BCDCD，DA二．13．314。15。（-4，2）16。17．（10分）18．（12分）解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.…………………5分若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，…………………10分综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.…………………12分19.（12分）解：（1）设每间虎笼的长xm,宽ym,则4x+6y=36,设每间虎笼面积为S，则S=xy18=2x+3y≥2,xy≤,当且仅当2x=3y时，等号成立，2x+3y=18,x=4.5m,y=3m时，等号成立。故每间虎笼的长和宽分别为4.5m和3m时，可使面积最大。…………………6分（2）设每间虎笼长为xm,宽为ym,S=xy=24,x=,L=4x+6y=,当且仅当，y=4,x=6故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小。…………………12分20．（12分）（1）…………………6分（2）…………………12分21.（12分）解:(1)n=1时∴n=2时∴n=3时∴…………4分(2)∵∴两式相减得:即也即∵∴即是首项为2,公差为4的等差数列∴。…………8分4\n(3)∴∵对所有都成立∴即故m的最小值是10.…………12分22．（12分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则故，所以，椭圆方程为．………6分（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4（m2－1）＝0，则△＝64k2b2－16（1＋4k2b2）（b2－1）＝16（4k2－m2＋1）＞0，且，．……………8分故y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，＝＝k2，即，＋m2＝0，又m≠0，所以k2＝，即k＝．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ＝d|PQ|＝|x1－x2||m|＝，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．……………12分4
