黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022届高三数学上学期期中试题理第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1、设集合，则（）A．B．C．D．2、下列四个函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．3、已知点、、三点共线，则实数的值是（）A．B．C．D．4、下列命题是假命题的是（）A．B．C．D．5、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6、已知，则（）A．B．C．D．7、各项均为正数的等差数列中，，则前项和的最小值为（）A．B．C．D．8、分别是的中线，若，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．9、已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．B．C．D．9\n10、已知都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于，则的最小值为（）A．B．C．D．11、已知函数的导函数，且，数列是以为公差的等差数列，若，则（）A．B．C．D．12、已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则由点确定的平面区域的面积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、一个几何体的三视图如图，该几何体的各个顶点都在球的球面上，球的体积为；14、如图，是圆的直径，是圆上的点，，，，则的值为；第13题第14题15、数列满足，，其前项积为，则；16、已知函数是定义在上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有9\n，给出下列四个命题：①；②直线是函数的一条对称轴；③函数在区间上为增函数；④函数在区间上有个零点。其中正确命题的序号为。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写答题卡的对应位置，写错不给分）17、（本小题满分12分）已知函数。（1）若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的的值；（2）设的内角、、的对边分别为，满足，且，求的值。18、（本小题满分12分）已知函数在处取得极值。（1）求的值；（2）求证：对任意，都有19、（本小题满分12分）如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小。20、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，，。(Ⅰ)求证:数列是等比数列；(Ⅱ)设数列的前项和为，，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值。9\n21、设，。(1)若，求的单调区间；(2)讨论在区间上的极值点个数；(3)是否存在，使得在区间上与轴相切?若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。[Z-X-X-K]22、（本小题满分10分）证明柯西不等式：；(Ⅱ)若且，求的最小值。9\n牡一中2022年高三数学热身训练一题参考答案选择123456789101112答案CACBDDDBDADA填空13141516答案①②17、（I） 则 的最小值是 ,最大值是 ． （II） ,则 , , , , , 向量 与向量 共线 ， 由正弦定理得， ① 由余弦定理得， ，即 ②由①②解得 ． 18、解：（1）因为，所以，又在处取得极值，所以，解得，经检验符合题意。（2）由（1）可知，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，又，，所以的最大值为，所以19、（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面，平面，9\n所以平面.设，连接，因为为菱形，所以为中点在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，所以平面平面.（Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系.因为底面是边长为的菱形，，，所以，，，，，.所以，.设平面的法向量为，则.令，得.由平面，得平面的法向量为，则所以二面角的大小为.20、解:(Ⅰ)由，得，两式相减得，所以()，因为，所以，，9\n所以是以为首项，公比为的等比数列(Ⅱ)由(Ⅰ)得，因为点在直线上，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，当时，，因为满足该式，所以所以不等式，即为，令，则，两式相减得，所以，由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数的最大值是21、解：（1）当时：，（）故……2分当时：，当时：，当时：.故的减区间为：，增区间为……3分（2）令，故,,…6分显然，又当时：.当时：.故，，.9\n故在区间上单调递增注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定.①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点.②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点.综上：当或时：在上无极值点.[Z-X-X-K]当时：在上有唯一极值点.……5分（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，由（2）可知：.不妨设极值点为，则有：…(*)同时成立.联立得：，即代入（*）可得.令，.则，，当时（2）.故在上单调递减.又，.故在上存在唯一零点..故在上存在唯一零点.即当时，单调递增.当时，单调递减.9\n因为，.故在上无零点，在上有唯一零点.由观察易得，故，即：.综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切22、（Ⅰ）证明：左边=,右边=,左边右边 , 左边右边,命题得证. （Ⅱ）令，则, , , , 由柯西不等式得：, 当且仅当，即，或时 的最小值是1. 的最小值是1. 9
