重庆市巫山中学2022-2022学年高二上学期期末考试理科数学满分150分时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项答在机读卡上）1.直线在x轴上的截距为()A.B.C.D.22.命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为( )A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0B．∀xR，x2－2x＋4≤0C．∃x∈R，x2－2x＋4>0D．∃xR，x2－2x＋4>03.几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是( )A．B．C．D．4.已知，则下列结论错误的是( )A.B.C.D.5.设表示平面，表示两条不同的直线，给定下列四个命题：，,其中正确的是()A.(1)(2)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与两点，交双曲线的渐近线于两点，若，则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.-7-\n7.已知恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.8.用一个与圆柱母线成600角的平面截圆柱，截口为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.9.光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为( )A．y＝x－1B．y＝x－C．y＝x＋D．y＝x＋110.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为()A.B.1C.D.2二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卡上）11.不等式|x＋3|+|x－2|≥7的解集为_______;12.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为;13.在坐标平面内,与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共有条;14.已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为;15.过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________.三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分13分）如图将长，宽的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：-7-\n(1)求异面直线PQ与AC所成角的余弦值(2)求三棱锥的体积17.（本小题满分13分）已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.(1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k的取值集合(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.18.（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.命题q：实数x满足(1)当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.（本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点).求证：(1)A、B两点的横坐标之积为；(2)直线AB经过一个定点.-7-\n20.（本小题满分13分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，点E在PD上，且满足，，,（1）在棱上是否存在一点F,使,若存在，求出的长度（2）求二面角的余弦值21.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点．(1)求椭圆及其“伴随”的方程;(2)过点作“伴随”的切线交椭圆于,两点,记为坐标原点)的面积为,将表示为的函数,并求的最大值.-7-\n2022级理科数学参考答案一、选择题：ACACBDACBA二、填空题：11.12.13.214.615.三、解答题：16.解：（1）由已知，三棱柱为直三棱柱，在上取一点D，使得,连结,所以，,在中，所以直线PQ与AC所成的夹角的余弦值为（2）17.解：（1）已知圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=4，其圆心（3，4）到直线kx-y-4k+3=0的距离为.直线和圆总有两个不同的公共点，所以＜2，即（k+1）2＜4（1+k2），即3k2-2k+3＞0.而3k2-2k+3=3（k-）2+＞0恒成立.所以k的取值集合为R（方法二：直线过定点（4,3），可以判断点（4,3）在圆的内部，从而确定直线和圆总有两个不同的公共点，所以k的取值集合为R）（2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，而d=,当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，dmax=.故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为（注：由（1）可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点（4,3）的距离，从而确定最短弦;在上面的解法中对k的分类讨论用对勾函数求解也可.）18.解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，得a<x<3a(a>0)．-7-\n当a＝1时，1<x<3，所以p：1<x<3.由解得2<x≤3，所以q：2<x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}．(2)设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，a>0}，B＝＝{x|2<x≤3}．根据题意可得，则0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.故实数a的取值范围是{a|1<a≤2}．19.证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=2px1、y22=2px2.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值.(2)∵y12-y22=2p(x1-x2),∴=.∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-·+y1,y=x+,亦即y=(x-2p).∴直线AB经过定点(2p,0).20.解：连结建立空间直角坐标系则,,,,,.设棱上一点F，，所以所以F为的中点时，，并且此时-7-\n(2)设平面的法向量为故二面角的余弦值为21.解析：(1)椭圆的离心率为,则,设椭圆的方程为……………2分∵椭圆过点，∴，∴，…………….………..4分∴椭圆的标准方程为，椭圆的“伴随”方程为.………..6分(2)由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得………..8分设,两点的坐标分别为,,则,.又由与圆相切,所以,.所以……10分,.(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1.………..12分-7-
