重庆市名校联盟2022～2022学年第一次联合考试高2022级数学试题（理工类）(本试卷共6页，总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。3．所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。4．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合，则A∩B=：A.B.C.D.2．若为复数，且，则：A.2B.0C.D.3．已知是等差数列的前项和，若，则：A.B.C.2022D.4．若，则：A.B.C.2D.5．在四边形ABCD中,，,则四边形ABCD的面积为：A.B.52C.D.136．抗日战争（1937年7月7日—1945年8月15日），又称第二次中日战争（日称日中战争、支那事変、日华事変），是中国反抗日本侵略的一场大规模战争，战场主要在中国大陆。下题是特为纪念中国人民抗日战争胜利70周年而作。已知函数，则：A.70B.8C.D.7．已知实数满足，那么的最大值为:A．15B．9C．7D．58．已知函数，则使对任意实数恒成立的最小正实数的值为：A.2B.C.D.9．设的内角的对边分别为,，且，则=：A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.10．已知函数，正项等比数列满足，则:A.2022B.C.2022D.100811．已知函数，若关于的方程有六个不同的实根，则常数的取值范围是:A.B.C.D.12．设函数(,为自然对数的底数)，函数的图象如图所示，若在折线上存在点使得,则的取值范围是:6A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的最大值是。14．如图，在圆C中，弦AB=4，则。15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且成等比数列，则。16．设是定义在R上的可导函数，且满足，则不等式的解集为。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分，第一问6分，第二问6分）已知等差数列,，，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若，求数列的前n项的和．18.（本题满分12分，第一问6分，第二问6分）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．19.（本题满分12分，第一问6分，第二问6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.20.（本题满分12分，第一问4分，第二问8分）重庆市委市府鼓励乡村发展观光农业，如图是重庆一乡村开发区的一个平行四边形ABCD地块，经测量AB=200m,BC==100m,。拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD边上，不计路的宽度），将该地块分为面积之比为3：1的左右两部分分别种植野生金银花和向日葵，吸引更多游客。设（单位：m）.（Ⅰ）当F与点C重合时，确定点E的位置；（Ⅱ）求y关于x的函数关系式，并确定E，F的位置，使直路EF长度最短，并求出直路EF的最小值。21.（本题满分12分，第一问3分，第二问3分，第三问6分）设函数，其中，曲线过点，且在点处的切线方程为.6（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。22.（本题满分10分，第一问5分，第二问5分）选修4—1几何证明选讲如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.（Ⅰ）求证：△∽△；（Ⅱ）如果，求的长．23.（本题满分10分，第一问5分，第二问5分）选修4-4，极坐标与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使．（Ⅰ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值．24.(本题满分10分，第一问5分，第二问5分)选修4-5:不等式选讲已知关于的不等式解集为R，设.（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）已知，若，求的最大值。名校联盟2022-2022学年第一次联合考试高2022级数学理科试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案BADCDAADDBCA10提示：函数满足，又所以,由函数性质知设612提示：曲线上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项。当=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立，由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而＞1，故=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确。综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.1614．815．216．[3，4）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17解：(Ⅰ)由题意有，解得，；………6分(Ⅱ)由(1)可知，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以。………12分18解（Ⅰ）因又在x=0处取得极限值，故从而……3分由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即。……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）当；……8分（2）当所以当时，g（x）在R上为增函数；………10分（3）方程有两个不相等实根当在为增函数，当时，故在上为减函数时，故在上为增函数。……12分19（Ⅰ）解法一（从把边化成角角度思考，用正弦定理）：＝＝＝2R，则，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，……3分化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此.………6分.解法二（从把角化为边角度思考，用余弦定理）：原式化为，……3分……6分（Ⅱ）由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，从而c＝2.………9分又因为cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.………12分620解：（Ⅰ）□ABCD当F与点C重合时，。这时E是AB的中点。………4分（Ⅱ）当时，点F在BC边上，…………7分当时，如图（若四边形EBCF所成梯形是上底小，下底大，其表达式相同）综上所述，………10分当时，，当时，当，即时，综上所述，E点距B点25m,F点距C点75m,EF的最小值为……12分。21(Ⅰ），，……3分(Ⅱ)，设，，，在上单调递增，，在上单调递增，．所以………6分(Ⅲ）设，，由(2)中知，①当，即时，，在单调递增，，成立．………9分②当，即时，，，令，得，当时，，在上单调递减，，不成立．综上，.………………………12分22证明：（1）∽……5分（2）∽又因为为切线，则所以，.……10分23解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为，设，则，∴6∴这就是所求的直角坐标方程.………5分（Ⅱ）把代入，即代入得，即令对应参数分别为，则，……7分所以.…………10分24解（I）设，由题意得，所以……5分（Ⅱ）显然由柯西不等式可知：所以，即，当且仅当时取等号，最大值为……10分6
