沈阳铁路实验中学2022-2022学年度上学期第三次月考高三数学时间：120分钟满分150分一、选择题（每小题5分）1．已知集合，，，则=A．B．C．D．2．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．3．数列满足an+an+1=（n≥1,nN）,a2=1,Sn是的前项的和，则S21的值为（）A． C．6D．104．下列有关命题的说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．命题“”的否定是“，，”；C.命题“若，则”的逆否命题是假命题；D.已知，命题“若是奇数，则这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题.5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=（A）（B）（C）（D）7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是5\nA.<4B.>4C.<5D.>58．函数f(x)＝sin2x＋cos2x( )A．在单调递减B．在单调递增C．在单调递减D．在单调递增9．已知点在球O的球面上,,．球心O到平面的距离为1，则球O的表面积为（）A．B．C．D．10.在平面直角坐标系中，若满足，则当取得最大值时，点的坐标是（）（A）（B）（C）（D）11．若对，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．B．C．2D．112．已知函数的导函数为，，且＞，设、是方程的两个根，则的取值范围为（）A．B.C.D.二、填空题（每小题5分）13.已知，则当时，函数的最小值为.14．在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则5\n的最大值为15．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是_______．16．已知等差数列的每一项都有则数列的前n项和=三、解答题17．（本小题12分）已知是的三个内角，向量，且.（1）求角；（2）若，求.18.（本小题12分）如图,在长方体中为中点.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若二面角的大小为,求的长.19.（本小题满分12分）已知数列中，，其前项的和为，且满足．（1）求证：数列是等差数列；5\n（2）证明：当时，．20．（本小题12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．（I）设该选手参赛的轮次为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）对于（I）中的，设“函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．21．（本小题12分）已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．（从22/23/24三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）（本小题满分10分）22.（本题满分12分）如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙O上一点,弧AE等于弧AC,交于点,且,求的长度.23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．直线5\n的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于，两点，求M,N两点间的距离．24.设函数⑴若时，解不等式；⑵如果对于任意的，，求的取值范围。5\n参考答案1．D2．C3．A4．B5．D6．B7．C.8．D9.C10．D11．B12．A13．．14．15．．16．17．（1）（2）【解析】（1）因为（2）所以18．解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则,故(2)假设在棱上存在一点,使得平面,则设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要,又平面,存在点使平面,此时.(3)连接,由长方体,得,,由(1)知,故平面.是平面的法向量,而,则\n二面角是,所以,即19.试题解析：（1）当时，，，，从而构成以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）可知，，∴，∴当时，，从而．20.试题解析：（I）可能取值为1，2，3．2分记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，5分的分布列为：123P的数学期望7分（Ⅱ）当时，为偶函数；当时，为奇函数；\n当时，为偶函数；∴事件D发生的概率是.12分21．(1)单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)试题解析：(1)当时，函数，得．所以当时，，函数f(x)单调递增；当x＜1或x＞2时，，函数f(x)单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．3分(2)由，得，因为对于任意都有成立，所以问题转化为对于任意都有．4分因为，其图象开口向下，对称轴为.①当，即时，在上单调递减，所以，由，得，此时.5分②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得，此时.综上可得，实数的取值范围为．6分\n(3)设点是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率，所以过点P的切线方程为，8分因为点在该切线上，所以，即.若过点可作函数图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解．10分令，则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．令，解得或.因为，，所以必须，即.所以实数的取值范围为．12分22.试题解析：解：连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧可得,又,,从而,故,∴,ACPDOEFB\n由割线定理知,故.10分23.（1）（2）【解析】（Ⅰ）由得，，两边同乘得，，再由，，，得曲线的直角坐标方程是；-----5分（Ⅱ）将直线参数方程代入圆方程得，，，，．-------10分24．解：⑴因为函数，所以时不等式即，由绝对值的几何意义易知解为。⑵因为对任意的都有，即需对任意的都有也就是需要与之间距离，所以即可所以的取值范围是。
