2022届高三数学12月考试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则=（）A．B．C．D．2.设是虚数单位，复数，则=（）A．1B．C．D．23.已知向量的夹角为，且，则（）A．B．C．D．4.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是（）A．B．C．D．5.若正数，满足，则的最小值是（）A．2B．3C．4D．56.某四面体的三视图如图，正（主）视图、侧（左）视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）正（主）视图侧（左）视图A．B．C．D．7.已知函数，则下列说法正确的为（）-14-\nA．函数的最小正周期为B．函数的最大值为C．函数的图象关于直线对称D．将图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数图像8.执行如图的程序框图，输出的值是（）A．B．C．D．10.在中，为的三等分点，则（）-14-\nA．B．C．D．11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．12.定义在上的单调函数，则方程的解所在的区间是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知不等式，照此规律总结出第个不等式为________________________________________；14.设满足约束条件，则目标函数的取值范围是__________________________；15.在中，，点在边上，，则；16.若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）-14-\n设数列的前项和满足：，等比数列的前项和为，公比为，且.（I）求数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，求证：.18.（本小题满分13分）如图，多面体中，两两垂直，且，.（I）若点在线段上，且，求证：；（II）求直线与平面所成的角的正弦值.19.（本小题满分12分）为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人：（I）求的值并补全下列频率分布直方图；（II）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”-14-\n作为是否充分利用时间的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？（III）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为，求的分布列及期望；参考公式：18.（本小题满分12分）已知双曲线的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且，以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆为.（I）求椭圆的方程；（II）设点是椭圆的左顶点，为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为，问直线是否恒过定点？若横过定点，求出该点坐标；若不横过定点，说明理由.19.（本小题满分12分）已知函数.（I）求的单调区间和极值；（II）设，且，证明：.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.20.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，是圆的直径，是延长线上的一点，-14-\n是圆的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点，过点作圆的切线，切点为.（I）求证：四点共圆；（II）若，求的长.18.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（I）求圆的直角坐标方程；（II）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.19.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数.（I）若不等式的解集为，求的值；（II）若存在，使，求的取值范围.-14-\n12月考数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBDDDBDBCBAC二、填空题（每小题5分，共20分）13.1+错误！未找到引用源。；14.15.错误！未找到引用源。；16．错误！未找到引用源。三、解答题17.解：（1）………………………….2分因为即时，有……………………………4分为等差数列，公差为4，首项为1……………………..6分（2）……………………..8分-14-\n……………………………10分时，易知为递增数列，即………..12分18．解：（Ⅰ）分别取的中点，连结，则有.∵∴ ……………………………………………1分又∵∴∴四边形是平行四边形∴ ……………………………………………………2分又∵∴平面 ……………………………………………6分（Ⅱ）如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则 ……………………………………6分设平面的一个法向量，则有，化简，得令，得……………8分设直线与平面所成的角为，则有. ……………………12分-14-\n所以直线与平面所成的角的正弦值为.19．（本小题满分12分）1/1001/2001/3751/6001/7501/3000306090120150180210240时间（分钟）频率/组距O1/1201/250(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),由图可知：P1=×30=,P2=×30=∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=由题意：n×=5∴n=100………2分又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=∴第④组的高度为:h=×==频率分布直方图如图：（注：未标明高度1/250扣1分）………4分（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，利用时间充分利用时间不充分总计走读生301545住宿生451055总计7525100从而列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得……6分K2===≈3.030因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分(3)由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=i)=(i=0,1,2,3)∴P（X=0)===,P（X=1)===,-14-\nP（X=2)===,P（X=3)===…………………………………10分∴X的分布列为：X0123P∴EX=0×+1×+2×+3×==……………………12分(或由超几何分布的期望计算公式EX=n×=3×=)20.（本小题满分13分）解：（I）双曲线的焦距，则，，①…………1分渐近线方程，由题知，②…………………………………………2分由①②解得，∴椭圆的方程为.………………………………4分（II）在（I）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去得：，设，则.……………………………6分又，由题知，则，………………………………………………-14-\n7分则==.则.…………………………………………………………………………9分此时直线过点，显然不适合题意.当时，直线的方程为，此时直线过点.…………………………………………………………………………………………………12分当直线的斜率不存在时，若直线过点，点的坐标分别是,，满足，综上，直线恒过点.…………………………………………………………………13分21【解析】（1）定义域为令则∴；令则∴∴的单调增区间是，单调减区间是-14-\n极小值，无极大值（2）证明：不妨设，两边同除以得，令，则，即证：令令，，在上单调递减，所以即，即恒成立∴在上是减函数，所以∴得证所以成立22.【解析】：（1）证明：连结，∵是圆的直径，∴，在和中，-14-\n又∵∴∴四点共圆。（2）∵四点共圆，∴∵是圆的切线，∴∴又因为∴∴23.【解析】：（1）因为圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程（2）『解法1』：设由圆的方程所以圆的圆心是，半径是将代入得又直线过，圆的半径是，所以所以即的取值范围是『解法2』：直线的参数方程化成普通方程为：…………6分由，-14-\n解得，…………8分∵是直线与圆面的公共点，∴点在线段上，∴的最大值是，最小值是∴的取值范围是…………10分24.【解析】：由题意可得可化为，，解得.（2）令，所以函数最小值为，根据题意可得，即，所以的取值范围为-14-
