第五次月考数学理试题【辽宁版】考试时间：120分钟试题分数：150分参考公式：球表面积公式，其中为球的半径．圆柱的体积公式，其中为底面积，为高．第Ⅰ卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则=（）A．B．C．D．2.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.B.C.D.3.“”是“函数的最小正周期为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A.B.C.或D.或5.已知,,那么的值为（）A.B.C.D.6.已知函数是偶函数，则的图象与轴交点纵坐标的最小值为（）A.B.C.4D.7．已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为（）A．B．C．D．8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）9\nA．B．C．D．9.在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，为锐角，则公比等于（）A.B.C.D.或10.设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为（）A．B．C．D．11．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知函数,下列结论中正确的个数是（）①既是奇函数,又是周期函数②的图像关于直线对称③的最大值为④在上是增函数A.B.2C.3D.4第Ⅱ卷二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.在中，若,则是三角形.14．外接圆的半径为1，圆心为，且2OA+AB+AC=0，OA=AB，则CA∙CB的值是_________.15.某几何体三视图如图所示（正方形边长为），则该几何体的体积为.9\n16．已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围为.三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知向量，，且（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值，并求此时的值.18.（本小题满分12分）设函数（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角对边分别为若，求的最小值.19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.9\n（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.附：，0.050.013.8416.63520．（本题满分12分）已知数列的前项和为，，且()，数列满足，，对任意，都有．（1）求数列、的通项公式；（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数，其中为实数（1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：,对于任意的正整数成立.9\n请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.（1）求证：圆心O在直线AD上；（2）求证：点C是线段GD的中点.23.（极坐标与参数方程选讲）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.24.（不等式选讲）（本小题满分10分）设函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.参考答案一、选择题1-5CABBA6-10ACDCD11-12BD二、填空题13.等腰或直角14.315.16.三、解答题17.解：（1）∵ ∴ ； 9\n ∴ （2）∵ ∴ ；∴ 当，即或时，取最小值18.解：（1）要使取最大值，故的集合为（2）由题意，，即化简得，，只有，在中，由余弦定理，由知，即，当时，取最小值19．解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，从而的分布列为01239\n，.20.解答（1）∵，∴()，两式相减得，，∴，即()，又因为，，从而∴()，故数列的通项公式()．在数列中，由，知数列是等比数列，首项、公比均为，∴数列的通项公式．（2）∴①∴②由①-②，得，∴，不等式即为，即（）恒成立．方法一、设（），当时，恒成立，则不满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，恒成立，则满足条件．综上所述，实数λ的取值范围是．方法二、也即（）恒成立，令．则，由，单调递增且大于0，∴单调递增∴∴实数λ的取值范围是．21.解：解析(1)因为①当时，令得；得9\n此时，函数的增区间是，减区间是①当时，令得或；得此时，函数的增区间是和，减区间是②当时，对任意恒成立，此时，函数的增区间是，无减区间③当时，令得或；得此时，函数的增区间是和，减区间是（4分）（3）当时，（当且仅当时等号成立）则，当时，此不等式可以变形为，分别令，则所以.22．证明：（1）∴圆心O在直线AD上。（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，9\n∴点C是线段GD的中点。23解：（1）解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为(2)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交24解：（1）函数，方程的根为，由函数的图像知的解集为（2）设，表示过点，斜率为的直线，的解集非空即的图像在图像下方有图像，或与图像有交点，由图像可知9
