第五次月考数学理试题【福建版】时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。1、已知R为实数集，,，则（）A．{x|0<x<1}B．{x|x<2}C．{x|0<x<2}D．2．设,且，则锐角为（）A．B．C．D．3．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B.C.D.4．在等比数列中，，则的值是（）A．B．C.D．5．在各项都为正数的等差数列中，若a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于（） A.3 B.6 C.9 D.366．设，，表示三条直线，，，表示三个平面，给出下列四个命题：①若⊥，⊥，则∥；②若，是在内的射影，⊥，则⊥；③若，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.其中真命题为（）A．①②B．①②③C．①②③④D．③④7.将函数的图像向右平移n个单位后所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是（）A．B．C．D．8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（） A.D1O∥平面A1BC1B.D1O⊥平面AMCC.异面直线BC1与AC所成的角等于60° D.二面角M－AC－B等于45°9.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点 B.f(x)在(－1,0)上恰有一个零点C.f(x)在(0,1)上恰有两个零点 D.f(x)在(－1,0)上恰有两个零点10．某同学在研究函数(R)时，分别给出下面几个结论：9\n①等式在时恒成立；②函数f(x)的值域为(－1,1)；③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④函数在上有三个零点.其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。11． 。12.若变量x,y满足约束条件，则的最大值等于 。13．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．12345678910…………第14题图342俯视图主视图左视图14.如图，自然数列按正三角形图顺序排列，如数9排在第4行第3个位置；设数2022排在第m行第n个位置，则15.已知函数若对任意实数,有,,则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）在数列中，，（，常数），且，，成等比数列．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．17.（本小题满分13分）已知函数－（1）求的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域。9\n18．（本小题满分13分）如图，三棱柱中，面，,，，为的中点。(I)求证：面；(Ⅱ)求二面角的余弦值19.（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4.（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°.20.（本小题满分14分）设曲线在点处的切线斜率为，且。对一切实数，不等式恒成立（I）求的值。（II）求函数的表达式；（III）求证：9\n21.（本题满分14分）请考生在第（I）、（II）、（III）题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。I.选修4—2 矩阵与变换已知矩阵（1）求A的逆矩阵A-1；（2）求A的特征值及对应的特征向量。II．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：。（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系。III．选修4－5：不等式证明选讲将12cm长的细铁线截成三条长度分别为、、的线段，（1）求以、、为长、宽、高的长方体的体积的最大值；（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。参考答案一、选择题1．B2．B3．C4．C5．C6．A7．A8．D9．B10.B二、填空题11.12．6；13.2914.12515.lg三、解答题16、解：（1）由题知，，，，………2分因为，，成等比数列，所以，………4分解得或，又，故．………6分（2）当时，由得，，…，9\n以上各式相加，得，………9分又，，故，………11分当时，上式也成立，………12分所以数列的通项公式为（）．………13分17、解：(1)=…………….4分的最小正周期为……………5分的对称中心为…………….6分(2)………..8分又……………9分而……………10分由，得……………….13分18．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1A………………2分又B1A平面BDC1，OD平面BDC1∴B1A∥平面BDC1………………4分(也可证明且AB1平面BDC1)（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1∴CC1⊥面ABC则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC如图以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,0,3)B(0,2,0)D(1,0,0)C(0,0,0)………………7分∴设平面的法向量为，由得，即，取，则………………9分9\n又平面BDC的法向量为………………10分cos………………11分又二面角C1—BD—C为锐二面角………………12分∴二面角C1—BD—C的余弦值为………………13分19．解：9\n20．解：（I）由对一切实数，不等式恒成立得，…………3分（II）由得得…………5分又恒成立则由恒成立得…………7分同理由恒成立得…………8分综上，…………9分（III）…………10分9\n要证原不等式，即证：…………11分…………14分注：第（III）小题也可用数学归纳法证明。21．I.解：（1）∵∴A可逆…………1分∴……………………3分（2）A的特征多项式………4分由，得或；……………………5分当时，由得特征向量当时，由得特征向量……………………7分II.解：（1），……………………3分（2）圆心，半径圆心到直线的距离为，∴直线和圆相交。……………………7分III.解：（1），；当且仅当时，等号成立.……………………3分（2）设正三角形的边长为，则9\n由柯西不等式………5分∴这三个正三角形面积和当且仅当时，等号成立.∴这三个正三角形面积和的最小值为……………………7分9
