福建师大附中2022-2022学年上学期期中考试高二数学试卷（文科）时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共三大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是(***)A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样2.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是(***)A．P与R是互斥事件B．P与Q是对立事件C．Q和R是对立事件D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件3.已知A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是xA，xB，观察茎叶图，下列结论正确的是(***)A．xA<xB，B比A成绩稳定B．xA>xB，B比A成绩稳定C．xA<xB，A比B成绩稳定D．xA>xB，A比B成绩稳定4．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－10x8\n＋200，则下列结论正确的是(***)A．y与x具有正的线性相关关系B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10C．当销售价格为10元时，销售量为100件D．当销售价格为10元时，销售量在100件左右5.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(***)A.B.C.D.6.在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(***)A．18B．99C．198D．2977.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(***)A.B.C.D.8.设,,则是的(***)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知为等比数列，，，则(***)A.7B.5C.D.10.的内角的对边分别为成等比数列，且，则(***)A.B.C.D.11．为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入(***)A．B．C．D．8\n12.在中，，则的最大值为(***)A.B.C.D.Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共30分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为***14．若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③＋>2；④b>a，正确的有***15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝***_，估计该小学学生身高的中位数为***16.若变量满足约束条件则的最小值为***．17.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为***18.在中，为边上一点，,若，则***．三、解答题:5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos(B–)．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20.（本小题满分12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．8\n（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．21.（本小题满分12分）已知数列{}是公差为的等差数列，数列满足，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和．22.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.8\n（I）若=19，求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.8，求的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？23.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.8\n师大附中2022—2022学年度第一学期期中考试高二数学（文科）试题参考答案2,4,6一、选择题：1－12：DCADBBCADBBA二、填空题：13．14．15.16.17.18.三、解答题：19.（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（II）因为△ABC的面积为，所以，所以，又因为，所以，所以△ABC的周长为20．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．21.（I）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.（II）由（I）和，得，又因为因此8\n是首项为1，公比为的等比数列.所以，通项公式为，所以记的前项和为，则所以22．（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于19的概率为0.7，需更换的零件数不大于20的概率为0.9，故的最小值为20.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买18个易损零件，则这100台机器中有46台在购买易损零件上的费用为3600，24台的费用为4100，20台的费用为4600，10台的费用为5100，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4070.若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4000.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.8\n23.解：(Ⅰ)由题设，，两式相减，由于，所以（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.8
