2022—2022学年度第一学期期中考试试题高二（数学）（理）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.1．在△ABC中,,,a=1,则b=（）A．1B．C．2D．2．已知数列{an}是等比数列，且，a4=﹣1，则{an}的公比q为（ ）A．2B．﹣C．﹣2D．3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间相距（ ）A．a（km）B．a（km）C．a（km）D．2a（km）4．在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（ ）A．3B．6C．9D．125．函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（ ）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）6．等差数列{an}中，若，则（ ）A．100B．120C．140D．1607．下列结论成立的是（ ）A．若ac＞bc，则a＞bB．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+dD．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=14，a1=2，则a4=（ ）A．16B．16或﹣16C．﹣54D．16或﹣549．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ）A．B．4C．D．510．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A．130B．170C．210D．260-5-\n11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形12．已知函数，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足.若实数d是方程的一个解，那么下列三个判断：①d<a；②d<b；③d<c中有可能成立的个数为（ ）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．在中,若,则的外接圆的半径为_____.14．在数列{an}中，若a1=1，a2=，（n∈N*），则该数列的通项an= ．15．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为 ．16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=30°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN= m． 三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知实数x，y满足，求z=2x+y的最大值和最小值．18．数列{an}对任意n∈N*，满足，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求的通项公式及前n项和．-5-\n19．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．20．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．21．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和（n∈N*），且a2=3，S4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．-5-\n高二数学理科答案一．选择题：1．B2．C3．A4．A5．D6．B7．D8．D9．A10．C11．C12．D二．填空题:13．14．15．816．三．解答题:17．解：如图：作出可行域（6分）目标函数：z=2x+y，则y=﹣2x+z.当目标函数的直线过点A时，Z有最大值．A点坐标由方程组解得，A（5，2）Zmax=2x+y=12．（8分）当目标函数的直线过点B（1，1）时，Z有最小值Zmin=2x+y=3．（10分）故z=2x+y的最大值和最小值分别为：12；3．18．（1）由已知得数列是等差数列,且公差d=1．又，得，所以（2）由（1）得，，所以，故．19．解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．20．解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，-5-\n所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=21．解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，由已知条件得解得a1=1，d=2，∴an=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，∴Tn=b1+b2+…+bn===．22．解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．-5-
