马营中学2022—2022学年度第一学期阶段性考试高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合，集合，则（ ）A．B．（﹣∞，1]C．D．（2）若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（）A．B．C．D．（3）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ的值（）A.B.C.1D.（4）二项式的展开式中常数项为（）A．160B．C.60D．（5）设满足约束条件，则目标函数的取值范围为（） A．B．C．D．（6）已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A．10B．8C．6D．4（7）定义：在数列中，若满足（，d为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（）A．B．C．D．（8）设随机变量服从正态分布N（0，1），若（）-10-A．B．C．D．（9）在中，的对边分别为，且，，则的面积为（）A．B．C．D．正视图侧视图俯视图5343（11题图）（10）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．＋2B．＋1C．＋1D．＋1（11）若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( )A．B．C．D．（12）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若复数为纯虚数，则的值为（14）设，，则．（15）当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是。（16）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线-10-y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若＝6，则k的值为_______第17题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）如图，以Ox为始边作角与(0<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P､Q，已知点P的坐标为(，).（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若，求sin(+)的值（18）（本小题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；SCMAOB（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．（19）(本小题满分12分)如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．（Ⅰ）求证：OM⊥BC；（Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，二面角B－SA－C的大小为，分别求的值．（20）（本小题满分12分）已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设为上的一点，且，过两点分别作的切线，记两切线的交点为.判断四边形是否为梯形，并说明理由.-10-（21）（本小题满分12分）已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，若，求的最小值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F.（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2.（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲.（Ⅰ）设函数.证明：；（Ⅱ）若实数满足,求证:．-10-马营中学高二理数学测试题（答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，（1）A（2）B（3）B （4）C（5）D（6）B（7）C（8）C（9）C（10）D（11）B（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。(13)(14)-2(15)(16)k＝或k＝三、解答题：17解：(1)由三角函数的定义得=－，=，则原式==22×(－)=(2)∵=0，∴OP⊥OQ∴∴，∴，.∴=×+(－)×=18解因此，随机变量的最大值为………………………3分·有放回摸两球的所有情况有种………6分-10-则随机变量的分布列为：………………10分因此，数学期望…………………12分19．解(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA2分O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA∴OM⊥BC4分(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积当且仅当时取得最大值6分方法一取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC∴，9分作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA故，在中，,12分方法二以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2)进而M(0，，1)，是平面ABC的一个法向量，故，9分设v=(x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即-10-故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量故12分20.解：（1）抛物线的焦点为.由题意，得直线的方程为，令，得，即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得，因为，所以..。。。。。。。。。5分（2）结论：四边形不可能为梯形.理由如下：假设四边形为梯形.依题意，设，，，联立方程消去y，得，由韦达定理，得，所以.同理，得.对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为.由四边形为梯形，得或.若，则，即，因为方程无解，所以与不平行.若，则，即，因为方程无解，所以与不平行，所以四边形不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分21题解-10-所以设，所以在单调递减，，故所求的最小值是…………12分（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲解：（1）证明：，．在正△中，，，--------------1又，，-10-△BAD≌△CBE，，-------------------------3即，所以，，，四点共圆．…………………………（5分）（2）解：如图，取的中点，连结，则．，，，，△AGD为正三角形，，即，所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为．由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为．（10分）23.解：（1）曲线的普通方程为，……………………2分曲线的普通方程为.……………………4分（2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.因此……………………6分.-10-所以当时，有最大值28，……………………8分因此的最大值为.……………………10分法二：设点坐标为，则，由题意可知.因此……………………6分.所以当时，有最大值28，……………………8分因此的最大值为.……………………10分24．（10分）证明:(Ⅰ)由，有所以………………………5分(Ⅱ),由柯西不等式得:(当且仅当即时取“”号)整理得:,即……………………10分-10-
