益阳市箴言中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题总分：150分钟时量：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题“”的否定为A．B．C．D．2.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、数列的前n项和为，若，则A．10B．15C．-5D．204、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．B．1C．D．5．已知且，则的值为A．B．C．D．6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为则实数m等于A、5B、-2C、1D、47．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是A．②③B．①②③C．③D．③④⑤8．若方程在上有两个不相等的实数根，则-13-\n的取值范围为A．（3，）B．[3，）C．[3，]D．（3，]9．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、设函数在区间上的导函数在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是A．B．C．D．11．若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．12．已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若任意的,不等式恒成立，则当时，的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算=．14、已知若，则的最小值为15、计算=16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）。若，其中的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）-13-\n17．（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．18．（本小题满分10分）已知数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值。19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，平面ABC平面，.（1）求证：；（2）已知点E是AB的中点，，求直线与平面所成的角的正弦值。20、（本小题满分12分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①-13-\n该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数．（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围．22．（本小题满分13分）已知函数..（Ⅰ）若，求函数的最大值；（Ⅱ）令，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，正实数满足，证明.理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）-13-\n1．命题“”的否定为CA．B．C．D．2.设，则“”是“”的BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、数列的前n项和为，若，则DA．10B．15C．-5D．204、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是CA．B．1C．D．5．已知且，则的值为（B）A．B．C．D．6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为则实数m等于AA、5B、-2C、1D、47．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．②③B．①②③C．③D．③④⑤【答案】C①中若a＝，b＝，则a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，则a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，则ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C.8．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为（）-13-\nA．（3，）B．[3，）C．[3，]D．（3，]【答案】D设，由题意可知函数在上与x轴有两个交点，需满足9．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D函数关于y轴的对称函数为有解，即10、设函数在区间上的导函数在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（D）A．B．C．D．11．若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意有，所以，而，所以有是函数的零点，故选A．12．已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若任意的,不等式恒成立，则当时，的取值范围是（C）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算=．-13-\n【答案】函数表示以（-2,0）为圆心，半径为1的圆的的面积，故=.13已知若，则的最小值为15、计算=16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）。若，其中的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．17.（1），（2）最大值为2，最小值为－1.解（1）2分.4分（2）由已知得，6分-13-\n，，故当即时，；故当即时，，8分故函数g（x）在区间上的最大值为2，最小值为－1.10分18．（本小题满分10分）已知数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值。18．（Ⅰ）（Ⅱ）100试题解析：（Ⅰ）时，（2分）时，，是以为首项，为公比的等比数列，（4分）（Ⅱ）（6分）（8分）令（10分）-13-\n19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，平面ABC平面，.（1）求证：；（2）已知点E是AB的中点，，求直线与平面所成的角的正弦值。记直线与平面成角为，则12分20、（本小题满分12分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；-13-\n（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．20.解：（1）预测①：在上单调递增；预测②：对恒成立；…………………3分（2）将（1，100）、（2，120）代入到中，得，解得.因为所以，故在上单调递增，符合预测①；又当时，所以此时不符合预测②.…………………6分（3）由，解得.因为要想符合预测①，则即，从而或.…………………8分（i）当时，，此时符合预测①，但由，解得，即当时，，所以此时不符合预测②；…………………10分（ii）当，此时符合预测①，又由知，所以；从而欲也符合预测②，则，即又，解得.综上所述，的取值范围是…………………12分-13-\n21．（本小题满分13分）已知函数．（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）;（2）.（1）由题意得当时，，，2分∴此时的值域为。当时，，，∴此时的值域为。4分当时，，，∴此时的值域为。6分（2）由恒成立得恒成立。令，，因为抛物线的开口向上，所以。由恒成立知，化简得8分令，则原题可转化为：存在，使得。即当时，。∵，的对称轴为。①当，即时，∴，解得10分②当，即时，-13-\n∴，解得12分综上，的取值范围为.13分22．（本小题满分13分）已知函数..（Ⅰ）若，求函数的最大值；（Ⅱ）令，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，正实数满足，证明.【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）因为，所以，1分此时，,2分由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为.4分（Ⅱ），所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，6分当时，，-13-\n令，得．所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．综上，当时，函数的递增区间是，无递减区间；当时，函数的递增区间是，递减区间是.10分（Ⅲ）当时，.由，即.从而.令，则由得，.12分可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以，因为,因此成立.13分-13-
