益阳市箴言中学2022届高三第二次模拟考试文科数学试题时间120分钟满分150分1.设集合A＝{1,2,3,5,7}，B＝{x∈Z|1＜x≤6}，全集U＝A∪B，则A∩(∁UB)的子集个数为( )A.1B.2C.4D.82.复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34.已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )A．12 B．11 C．3 D．－15.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )A. B.C.D．(0,2]6.函数y＝的图象大致为( )7.连续掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ＞90°的概率是( )A. B. C. D.8.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg)＝( )A．－1B．0C．1D．29.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )-8-\nA．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π10.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )A.＋2 B.＋1C.－2D.－111.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0)B.C．(0,1)D．(0，＋∞)12.已知符号函数，则函数的零点个数为()A．B．C．D．二．填空题：（每小题5分，共20分）13.已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．14.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．15.已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝16.已知函数,当时,恒有成立,则实数的取值范围三．解答题：17.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4(1)试求小李这5天的平均投篮命中率；(2)请你用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．其中-8-\n18.已知向量a＝与b＝(1，y)共线，设函数y＝f(x)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知锐角△ABC中三个内角分别为A，B，C，若有f＝，BC＝，sinB＝，求△ABC的面积．19.若数列{an}满足：a1＝，a2＝2,3(an＋1－2an＋an－1)＝2.(1)证明：数列{an＋1－an}是等差数列；(2)求使＋＋＋…＋>成立的最小的正整数n.20.如图，已知F(2,0)为椭圆(a＞b＞0)的右焦点，过点F且垂直长轴的直线交椭圆于A，B两点，线段OF的垂直平分线与椭圆相交于C，D两点，且∠CAD=90°.(1)求椭圆方程.(2)设过点F且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆相交于P，Q两点，若存在一定点E(,0)，使得轴上的任意一点(异于点E，F)到直线EP，EQ的距离相等，求的值.-8-\n21.已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．23.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．24.已知函数f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|m－1|的解集不是空集，求实数m的取值范围．-8-\n文科数学参考答案：一．选择题：1-5CDABA；6-10DADAD；11-12BB；二．填空题：13.λ＜且λ≠－6.14.15.；16.三．解答题：17.【解】 (1)由图表知，5天的平均投篮命中率＝＝0.5，(2)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴＝＝0.01，＝－＝0.5－0.01×3＝0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x将x＝6代入，得＝0.53，∴6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.18.解：(1)由向量a＝与b＝(1，y)共线得f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期是2π.…………4分(2)令△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由f＝得sinA＝.又△ABC为锐角三角形，所以∠A＝.…………6分又a＝，sinB＝，由正弦定理得b＝＝2，………8分又a2＝b2＋c2－2bccosA，所以c＝3，…………10分所以S△ABC＝bcsinA＝.…………12分19.解：(1)由3(an＋1－2an＋an－1)＝2可得：an＋1－2an＋an－1＝，即(an＋1－an)－(an－an－1)＝，故数列{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公差的等差数列．…………6分(2)由(1)知an＋1－an＝＋(n－1)＝(n＋1)，-8-\n于是累加求和得an＝a1＋(2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，∴＝3，∴＋＋＋…＋＝3－>，∴n>5，∴最小的正整数n为6.………12分20.解：(1)由条件知A(2，),C(1,y0),D(1,-y0),其中y0=.所以因为∠CAD=90°,所以=0.所以可解得a2=6,b2=2.所以椭圆方程为.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0).由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.所以x1+x2=x1x2=.根据题意,x轴平分∠PEQ,则直线EP,EQ的倾斜角互补，即kEP+kEQ=0.因为E(m,0)，则有(当x1=m或x2=m时不合题意).将y1=k(x1-2),y2=k(x2-2)代入上式，得=0.又k≠0,所以即即即2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m=0.将x1+x2=x1x2=代入，可解得m=3.21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)只有单调递增区间(0，＋∞)；-8-\n②当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<，由f′(x)<0，得x>，所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，＋∞)．(2)解法一：因为f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，设g(x)＝lnx－a(x－1)，则g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0，①当a≥1时，g′(x)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)＝0，则a≥1时满足题意．②0<a<1时，令g′(x)>0得0<x<；令g′(x)<0得x>.则g(x)在(1，)上单调递增，所以当x∈(1，)时，g(x)>g(1)＝0，即0<a<1时不满足题意(舍去)．③当a≤0时，g′(x)＝－a>0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>g(1)＝0，即a≤0时不满足题意(舍去)．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．解法二：由题意知，f(x)＋a<0，即lnx－ax＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，设g(x)＝lnx－a(x－1)，则g′(x)＝－a，由(1)知，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以对任意的x∈(1，＋∞)，有g(x)>g(1)＝0，即f(x)＋a>0(不合题意，舍去)．由(1)知，当a>0时，g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，①当≤1时，即a≥1时，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)<g(1)＝0，符合题意．②当>1时，即0<a<1时，g(x)在(1，)上单调递增，在(，＋∞)时单调递减．x∈(1，)时，g(x)>g(1)＝0不符合题意．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．22.(1)证明 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解 因为△ABE∽△ADC，所以＝，AB·AC＝AD·AE.-8-\n又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.23.解 (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得24解 解：(1)原不等式为：|2x＋3|＋|2x－1|≤6，当x≤－时，原不等式可化为－4x－2≤6，即－2≤x≤－；当－<x<时，原不等式可化为4≤6，恒成立，即－<x<；当x≥时，原不等式可化为4x＋2≤6，即≤x≤1，∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}．(2)由函数f(x)＝∴|m－1|>4，解得：m<－3或m>5.-8-
