张家界市民族中学2022年下学期高三第二次月考理科数学试题时量：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于( )A．B．－C．D．－3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )A．－7B．－3C．2D．34．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f(log2)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b5．已知cos＝－，则sin的值为( )A.B．±C．－D.6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D．－＝17．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为( )A．2016B．2017C．2018D．20198．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）A．B．12\nC．D．与的大小关系不能确定9．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝x2B．y＝x＋1C．y＝－lg|x|D．y＝－2x10．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1－f′(x)，f(0)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex－1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－1，＋∞)11．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg|x|的零点个数是( )A．多于20B．20C．18D．1012．如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＜x1＜x2＜b)，满足f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称函数f(x)是区间[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f(x)＝x3－x2＋a是区间[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围为( )A.B.C．(0,1)D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．若函数的值域为，则实数的取值范围是________．14．写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，…的一个通项公式________．15．设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于________．16．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．12\n18．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：空气质量指数空气质量等级级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（Ⅱ）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．19、(本小题满分12分)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB＝SC，M是BC的中点，AB＝1，BC＝2.(1)求证：AM⊥SD；(2)若二面角BSAM的正弦值为，求四棱锥SABCD的体积．12\n21、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，求函数f(x)的单调增区间．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ex＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．12\n张家界市民族中学2022年下学期高三第二次月考数学（理）试题时量：120分钟满分：150分命题人：李宝平审题人：杨昭松、何难一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于( )A．B．－C．D．－3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )A．－7B．－3C．2D．34．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f(log2)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b5．已知cos＝－，则sin的值为( )A.B．±C．－D.6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D．－＝17．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为( )A．2016B．2017C．2018D．20198．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则A．B．12\nC．D．与的大小关系不能确定9．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝x2B．y＝x＋1C．y＝－lg|x|D．y＝－2x10．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1－f′(x)，f(0)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex－1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－1，＋∞)11．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg|x|的零点个数是( )A．多于20B．20C．18D．1012．如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＜x1＜x2＜b)，满足f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称函数f(x)是区间[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f(x)＝x3－x2＋a是区间[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围为( )A.B.C．(0,1)D.选择答案：CDDCBBBCCBCA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若函数的值域为，则实数的取值范围是_____．14．写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，…的一个通项公式________．15．设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于________．16．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数是______．三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．(1)求集镇A，B间的距离；12\n(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，根据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°＝62＋102－2×6×10×＝196，所以AB＝14.故集镇A，B间的距离为14km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c，在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin120°，得×3c＝xysin120°，即xy＝2c，由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6km.18．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：空气质量指数空气质量等级级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．12\n（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（Ⅱ）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．（Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）．---------4分（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，--6分则：，的分布列为--------10分（元）．-----12分19、(本小题满分12分)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.由，得x2－2x＋4－3c2＝0.12\n因为直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，所以Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)得M(1，)，因为直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，所以|PM|2＝，当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，所以λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，所以|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，所以λ＝(1＋)，因为k2>，所以<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[，1)．20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB＝SC，M是BC的中点，AB＝1，BC＝2.(1)求证：AM⊥SD；12\n(2)若二面角BSAM的正弦值为，求四棱锥SABCD的体积．【解】 (1)证明：设AD的中点为N，连接MN，由四边形ABCD是矩形，知MN⊥BC.因为SB＝SC，M是BC的中点，所以SM⊥BC.因为平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC＝BC，所以SM⊥平面ABCD，所以SM⊥MN.所以直线MC，MS，MN两两垂直．以M为坐标原点，MC，MS，MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，设SM＝a.依题意得，M(0，0，0)，A(－1，0，1)，B(－1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，S(0，a，0)．所以＝(1，0，－1)，＝(1，－a，1)．因为·＝1×1＋0×(－a)＋(－1)×1＝0，所以⊥，即AM⊥SD.(2)由(1)可得＝(0，a，0)，＝(－1，0，1)．设平面AMS的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1⊥，n1⊥，所以，即，令x＝1，则n1＝(1，0，1)是平面AMS的一个法向量．同理可得n2＝(a，－1，0)是平面ABS的一个法向量．设二面角BSAM的大小为θ，则cosθ＝＝.所以1－cos2θ＝1－＝sin2θ＝，解得a＝.所以四棱锥SABCD的体积V＝×S矩形ABCD×SM＝×2×1×＝.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，求函数f(x)的单调增区间．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，12\n当a＝2时，f(x)＝＋4x，则f′(x)＝－＋4.令f′(x)＝－＋4＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f＝4，无极大值．(2)f′(x)＝－＋2a＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－.当－2<a<0时，由f′(x)>0，得<x<－，所以函数f(x)在上单调递增；当a＝－2时，f′(x)≤0，所以函数f(x)无单调递增区间；当a<－2时，由f′(x)>0，得－<x<，所以函数f(x)在上单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ex＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ex＋2a，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增．②当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴函数f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增．综合①②知，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a))．(2)令g(x)＝f(x)－x2＋3＝2ex－(x－a)2＋3，x≥0，则g′(x)＝2(ex－x＋a)．又令h(x)＝2(ex－x＋a)，则h′(x)＝2(ex－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．12\n①当a≥－1时，h(x)≥0，即g′(x)≥0恒成立，∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而需满足g(0)＝5－a2≥0，解得－≤a≤，又a≥－1，∴－1≤a≤；②当a<－1时，则∃x0>0，使h(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0，从而2ex0－(ex0)2＋3≥0，解得0<x0≤ln3，又由h(x0)＝0，得a＝x0－ex0.令M(x)＝x－ex0<x≤ln3，则M′(x)＝1－ex<0，∴M(x)在(0，ln3]上单调递减，∴M(x)≥M(ln3)＝ln3－3，又M(x)<M(0)＝－1，故ln3－3≤a<－1，综上，实数a的取值范围为.12
