湖南省张家界市民族中学2022届高三数学上学期第二次月考试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )A．∅B．{2}C．{x|1<x≤2}D．{－2，－1,0,1,2}2．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于( )A．B．－C．D．－4．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )A．－7B．－3C．2D．35．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f(log2)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b6．已知cos＝－，则sin的值为( )A.B．±C．－D.7．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝x2B．y＝x＋1C．y＝－lg|x|D．y＝－2x8．设m∈R且m≠0，“不等式m＋>4”成立的一个充分不必要条件是( )A．m>0B．m>1C．m>2D．m≥29．函数，若，，，则（）A．B．C．D．10．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）11\nA．B．C．D．与的大小关系不能确定11．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg|x|的零点个数是( )A．多于20B．20C．18D．1012．如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＜x1＜x2＜b)，满足f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称函数f(x)是区间[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f(x)＝x3－x2＋a是区间[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围为( )A.B.C．(0,1)D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．函数y＝的定义域为________．14．(cos20°)·(cos40°)·(cos80°)＝________．15．设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于________．16．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.(1)求A∩B；(2)若C＝{x|m－1<x<2m＋1}，C⊆B，求实数m的取值范围．18．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC.(1)求B的大小；(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．11\n19．(本小题满分12分)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，求函数f(x)的单调增区间．21．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝alnx＋x2＋(1－b)x.(1)若g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为8x－2y－3＝0，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，x1，x2是函数g(x)的两个极值点，试比较－4与g(x1)＋g(x2)的大小．11\n22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ex＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．11\n张家界市民族中学2022年下学期高三第二次月考数学（文）试题时量：120分钟满分：150分命题人：李宝平审题人：王祥辉、向余波一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )A．∅B．{2}C．{x|1<x≤2}D．{－2，－1,0,1,2}2．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于( )A．B．－C．D．－4．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )A．－7B．－3C．2D．35．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f(log2)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b6．已知cos＝－，则sin的值为( )A.B．±C．－D.7．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝x2B．y＝x＋1C．y＝－lg|x|D．y＝－2x8．设m∈R且m≠0，“不等式m＋>4”成立的一个充分不必要条件是( )A．m>0B．m>1C．m>2D．m≥29．函数，若，，，则（）A．B．C．D．10．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）11\nA．B．C．D．与的大小关系不能确定11．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg|x|的零点个数是( )A．多于20B．20C．18D．1012．如果函数f(x)在区间[a，b]上存在x1，x2(a＜x1＜x2＜b)，满足f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称函数f(x)是区间[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f(x)＝x3－x2＋a是区间[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围为( )A.B.C．(0,1)D.文科答案：BCDDCBCCBCCA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．函数y＝的定义域为________．14．(cos20°)·(cos40°)·(cos80°)＝________．15．设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于________．16．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)解：(1)要使函数f(x)有意义，则x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．要使函数g(x)有意义，则3－|x|≥0，解得－3≤x≤3，即B＝{x|－3≤x≤3}．故A∩B＝{x|－3≤x<－1或2<x≤3}．(2)若C＝∅，则m≤－2，C⊆B恒成立；若C≠∅，则m>－2，要使C⊆B成立，则解得－2<m≤1.综上，m≤1，即实数m的取值范围为(－∞，1]．18．(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC.11\n(1)求B的大小；(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．解：(1)∵2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC，由正弦定理得，2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得，a2＋c2－b2＋ac＝0.∴cosB＝＝＝－.∵0<B<π，∴B＝.(2)∵A＝，∴C＝π－－＝.∴sinC＝sin＝sincos－cossin＝.∵b＝，B＝，∴由正弦定理得c＝＝.∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×××＝.19．某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，11\n根据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°＝62＋102－2×6×10×＝196，所以AB＝14.故集镇A，B间的距离为14km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c，在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin120°，得×3c＝xysin120°，即xy＝2c，由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6km.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，求函数f(x)的单调增区间．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝2时，f(x)＝＋4x，则f′(x)＝－＋4.令f′(x)＝－＋4＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f＝4，无极大值．11\n(2)f′(x)＝－＋2a＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－.当－2<a<0时，由f′(x)>0，得<x<－，所以函数f(x)在上单调递增；当a＝－2时，f′(x)≤0，所以函数f(x)无单调递增区间；当a<－2时，由f′(x)>0，得－<x<，所以函数f(x)在上单调递增．21．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝alnx＋x2＋(1－b)x.(1)若g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为8x－2y－3＝0，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，x1，x2是函数g(x)的两个极值点，试比较－4与g(x1)＋g(x2)的大小．解：(1)由题意可得，g′(x)＝＋x＋(1－b)，∴即解得a＝1，b＝－1.(2)∵b＝a＋1，∴g(x)＝alnx＋x2－ax，则g′(x)＝＋x－a＝.根据题意可得x2－ax＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根x1，x2.则解得a>4，且x1＋x2＝a，x1x2＝a.∴g(x1)＋g(x2)＝aln(x1x2)＋(x＋x)－a(x1＋x2)＝alna－a2－a.令f(x)＝xlnx－x2－x(x>4)，则f′(x)＝lnx＋1－x－1＝lnx－x.令h(x)＝lnx－x，则当x>4时，h′(x)＝－1<0，∴h(x)在(4，＋∞)上为减函数，即h(x)<h(4)＝ln4－4<0，f′(x)<0，∴f(x)在(4，＋∞)上为减函数，即f(x)<f(4)＝8ln2－12，∴g(x1)＋g(x2)<8ln2－12.又∵8ln2－12－(－4)＝8ln2－8＝8(ln2－1)<0，∴8ln2－12<－4，11\n∴g(x1)＋g(x2)<－4.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ex＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ex＋2a，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增．②当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴函数f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增．综合①②知，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a))．(2)令g(x)＝f(x)－x2＋3＝2ex－(x－a)2＋3，x≥0，则g′(x)＝2(ex－x＋a)．又令h(x)＝2(ex－x＋a)，则h′(x)＝2(ex－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．①当a≥－1时，h(x)≥0，即g′(x)≥0恒成立，∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而需满足g(0)＝5－a2≥0，解得－≤a≤，又a≥－1，∴－1≤a≤；②当a<－1时，则∃x0>0，使h(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0，从而2ex0－(ex0)2＋3≥0，解得0<x0≤ln3，又由h(x0)＝0，得a＝x0－ex0.令M(x)＝x－ex0<x≤ln3，则M′(x)＝1－ex<0，∴M(x)在(0，ln3]上单调递减，∴M(x)≥M(ln3)＝ln3－3，又M(x)<M(0)＝－1，故ln3－3≤a<－1，综上，实数a的取值范围为.11\n11
