2022-2022学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则下列命题中正确的个数为①②③的虚部为④在复平面上对应点在第一象限A．1B．2C．3D．42．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是A．B．C．D．3．已知集合，集合，则集合且为A．B．C．D．4．下列说法正确的是A．“，若，则且”是真命题B．在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称．C．命题“，使得”的否定是“，都有”第5题图D．，“”是“”的充分不必要条件5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为A．B．C．1D．36．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=尺，一丈=尺），问日益几何？”-12-\n其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为A．B．C．D．7．若，则的值为A．B．C．D．8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在0的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( )小时．A．B．C．D．第9题图9．已知函数的部分图像如所示，为了得到的图像需将的图像A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．已知定义在上的偶函数，满足，且时，，则方程在区间[]上根的个数是A．B．C．D．11．在和中，是的中点，，若，则与的夹角的余弦值为A．B．C．D．-12-\n12．设函数（其中为自然对数的底数）恰有两个极值点，则下列说法中正确的是A．B．C．D．第II卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．函数的单调递增区间是________．14．已知向量，，且，则．15．已知数列的通项公式为，当取得最大值时，的值为_________．16．若函数满足（其中），则称函数为“中心对称函数”，称点为函数的“中心点”．现有如下命题：①函数是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”在上的“中心点”为，则函数是上的奇函数；③函数是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为；④函数是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为．其中正确的命题是________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求的对称中心；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值．-12-\n18．（本小题满分12分)已知函数＝＋()．（Ⅰ）当时，若方程－＝0有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）试讨论的奇偶性．19．(本小题满分12分)已知数列，，为数列的前项和，且满足，，（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）试问能否为等差数列，请说明理由；（III）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．20．（本小题满分12分)已知函数（，为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围．21．(本小题满分12分)-12-\n如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且．（Ⅰ）若在距离点处，求点之间的距离；第21题图（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小．试确定的位置，使的面积最小，并求出最小面积．22．（本小题满分12分）已知数列满足．（Ⅰ）设，，证明：；（Ⅱ）证明：（为自然对数底数）；（Ⅲ）设，，试比较与与的大小关系，并说明理由．-12-\n1．C2．D3．D4．B第6题图5．A6．B7．C8．C9．A 10．B11．B12．C第II卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．或14．15．16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（I）因为===………4分所以的对称中心为……………5分（II）由（I）得，==，…………7分因为，所以，所以当时，即时，的最大值是；-12-\n当时，即时，的最小值是．…………10分18．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）由＝＝－，∴＝＝．∵，∴≥．……………………………………6分（Ⅱ）依题意得定义域为,关于原点对称∵＋，－，令，得＝，即＝，∴对一切恒成立．∴时，此时函数是偶函数……………………9分∵，∴函数不是奇函数，综上，当时，函数是偶函数；当时，函数是非奇非偶函数．…………12分19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当时，，当时，由，得：，则，综上，是公比为2，首项为2的等比数列，；………………3分（Ⅱ）是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列，且；…7分（Ⅲ）令-12-\n①-②，得：所以．………………………12分20．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）函数的定义域为，．当时，，∴在上为增函数；当时，由得，当时，，∴函数在上为减函数，当时，，∴函数在上为增函数……4分（Ⅱ）当时，，∵在上为增函数；∴在上恒成立，即在上恒成立，…………………………6分令，，则，令，在上恒成立，即在上为增函数，即，∴，即在上为增函数，∴，∴，所以实数的取值范围是．………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在中，因为，所以，-12-\n在中，由余弦定理得：，所以，所以，在中，，在中，由，得；…………6分（Ⅱ）解法1：设，在中，由，得，在中，由，得，所以＝＝＝＝．当，即时，的最小值为．所以应设计，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2…12分解法2：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝，-12-\n由＝，得ON＝·＝，所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3，令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则：S△OMN＝＝(t－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为，所以M的位置为距离A点6－3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）即证：，即证：，设，，∵当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，∴（当且仅当时等号成立），即时，有，∴，∴……………………………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当且时，有，即当且时，有，因为，所以，即………………………………………8分-12-\n（Ⅲ），理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：，设，因为，，所以………………12分解法二：因为，且，所以下面用数学归纳法证明：时，，即，①当时，左边，即当时不等式成立；②假设当时不等式成立，即，则当时，，，-12-\n，，所以当时，不等式也成立；综合①②时，，即成立，所以．-12-
