2022—2022学年度上学期高三期中检测数学试题（文科）第Ι卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．已知集合，则A． B．C．D．2．已知是虚数单位，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知是两相异平面，是两相异直线，则下列错误的是A．若∥，则B．若，则∥C．若，则D．若∥，则∥4．两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是 A． B． C． D．5.等差数列的前n项和为，已知，则等于A．B．50C．0D．6．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是A．B．C．D．7．设，则的大小关系为A．B．C．D．8．执行如下图的程序框图，如果输入的，则输出的A．5B．6C．7D．8-9-\n9．如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A.B． C． D．第8题图44222主视图侧视图俯视图第9题图10．若向量满足，则在方向上投影的最大值是A．B．C．D．11．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率是A．B．C．D．12．若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为A.B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）13．已知，则的值为__________．14．已知，点在内且．若，则__________．-9-\n15．已知函数，把的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数的图象，则的最小值为__________．16．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的面积取最小值时有__________．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，为等差数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?（3）在（2）的条件下,该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为-9-\n，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围．21．(本小题满分12分)函数.（1）若函数，求函数的极值；（2）若在恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线参数方程为(为参数)，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围．-9-\n华中师大一附中2022—2022学年度上学期高三期中考试数学试题（文科）参考答案与评分标准一、选择题二、填空题13．；14．；15．；16．三、解答题17.解：（Ⅰ）当时，，当时，，经验证当时，此式也成立，所以，从而，又因为为等差数列，所以公差，故数列和通项公式分别为：.……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以……①①得……②①-②得：.∴数列的前项和.…………………12分18．解：(1)由题意第2组的人数为35=5×0.07×n,得到n=100,故该组织有100人.…………………2分(2)第3组的人数为0.06×5×100=30，第4组的人数为0.04×5×100=20，第5组的人数为0.02×5×100=10，所以第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组；第4组；-9-\n第5组．所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人．………………6分(3)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1,则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种．其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3至少有一名志愿者被抽中的有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共有12种．则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为．…………………12分18．（1）证明：底面是菱形，对角线，又，平面，平面，，又为中点，平面．…………………6分（2）连∥平面，平面，平面平面，∥，在三角形中，是的中点，是的中点．取的中点，连，则∥，底面，且， 在直角三角形中，在直角三角形中，． …………………12分-9-\n20．（1）由题意，故椭圆．…………………4分（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，∴，，故.②若直线斜率存在，设直线的方程为，由消去得：，设，，则,.，，则代入韦达定理可得由可得，结合当不存在时的情况，得21．解：（1），定义域由得,由得,在递增,在递减,没有极小值.…………………4分（2）由在恒成立，整理得-9-\n在恒成立,设,则,…………………6分时,,且,时,,设在递增,又使得时,,时,,时,,时,.函数在递增,递减,递增,…………………9分又，时，，…………………11分,即的取值范围是…………………12分22．解：（1）曲线的方程为，直线的方程为.…………………5分（2）在上任取一点则点到直线的距离为=∴当时，，此时这个点的坐标为…………………10分23.解:（1）)等价于或或，-9-\n解得：或．故不等式的解集为或．………………5分（2）因为:所以,由题意得：，解得或．…………………10分-9-
