第五次月考数学理试题【湖北版】试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A.B.C.D.2．下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．74．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A.B.C．D.5.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为()A．B．C．D．6.在数列中，若对任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和()A．132B．299C．68D．997.若函数的图象如图所示，则等于（）A．B.10\nC．D．8.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是()A．B．C．D．9．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A．B．C．D．10.已知点F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为()A．2B．5C．3D．2或5二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设f(x)＝lg，则的定义域为__________________.12.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x、y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是________．13.菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________.14.若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______.（二）选考题15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且∥．过点做圆的切线与的延长线交于点，与10\n交于点．若，则线段的长为________。16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.若圆关于直线对称，则的值为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知f(x)＝sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．18.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，，为中点.（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值．10\n20．（本小题满分12分）已知数列满足：，数列满足：，，数列的前项和为.（1）求证：数列为等比数列；（2）求证：数列为递增数列；（3）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．（第21题）21．（本小题满分13分）如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点,直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）（1）当时，求证：（2）当函数（）与函数有且仅有一个交点，求的值;（3）讨论函数（且）的零点个数.10\n参考答案一.选择题(本题共50分)12345678910DBBDABBCCB二.填空题(本题共25分)11. 12. 13. 914. 6 15. 16.217.解∵f(x)＝sin(ωx)－2·＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.(1)由≤x≤得≤x＋≤，∴当sin(x＋)＝时，f(x)min＝2×－1＝－1.…………6分(2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得sin(C＋)＝1，而≤C＋≤，所以C＋＝，解得C＝.在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，∴2cos2A－sinA－sinA＝0，∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝.∵0<sinA<1，∴sinA＝.…………12分18.解：(1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为.…………4分(2)由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000.，，，…………8分综上可得的分布列为：10\n4005006007008001000…………10分.即的数学期望为775.…………12分19.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，………2分故四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面.……………5分(2)因为为的中点，所以，又侧面⊥底面，交线为，故⊥底面。…………6分以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，，设为平面的一个法向量，由，得，令，则．又设为平面的一个法向量，由，得，令，则，…………9分则，10\n故所求锐二面角的余弦值为．…………12分注：第2问用几何法做的酌情给分．20．解：（Ⅰ）．是等差数列．又………………2分．又为首项，以为公比的等比数列．………………5分（Ⅱ）．．当．又，．是单调递增数列．………………8分（Ⅲ）时，．10\n，即，．………………12分21．解：（1）当与轴重合时，，即，∴垂直于轴，得，，得，， ∴椭圆E的方程为．………4分（2）焦点、坐标分别为(—1，0)、(1，0)．当直线或斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)．………6分当直线、斜率存在时，设斜率分别为，，设，，由得：，∴，．，同理．∵，∴，即．由题意知， ∴．设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程，10\n∴点在椭圆上，………11分存在点M(0,-1)和点N(0,1)，使得为定值，定值为。………13分22．证明：（1）令，，，所以在上单调递减，在上单调递增，∴ 同理可证，故得证。………4分（2）令，，，令，则，在上单调递减，在上单调递增。使，当时，;当时，,∴，，，………8分（3）令，.是偶函数，,当时，，由（2）知，当时，函数有两个零点；, 当时，, ，所以函数有两个零点；当时，，在上单调递减，在上单调递增,，，当时，10\n;所以，函数有四个零点；当时，在上单调递减，在上单调递增,且，函数没有零点。………13分综上所述，当或时，函数有两个零点；当时，函数有四个零点；当时，函数没有零点。…14分10
