2022-2022学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∃x0∈R，x02+sinx0+e＜1”的否定是（ ）A．∃x0∈R，x02+sinx0+e＞1B．∃x0∈R，x02+sinx0+e≥1C．∀x∈R，x2+sinx+ex＞1D．∀x∈R，x2+sinx+ex≥12．抛物线y=9x2的焦点坐标为（ ）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）3．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（ ）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）4．设=（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量，=（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（ ）A．l⊥αB．l∥αC．l⊂α或l⊥αD．l∥α或l⊂α5．已知正数a，b满足4a+b=3，则e•e的最小值为（ ）A．3B．e3C．4D．e46．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（ ）A．122B．99C．D．7．已知各项均不为零的数列{an}满足an+12=anan+2，且32a8﹣a3=0，记Sn是数列{an}的前n项和，则的值为（ ）A．﹣B．C．﹣9D．98．已知抛物线C与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程为（ ）A．y2=±2xB．y2=±2xC．y2=±4xD．y2=±4x9．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞20/21a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]10．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD=；④四边形ABCD的面积S=．其中正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：﹣=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（ ）A．32B．16C．8D．412．已知梯形CEPD如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F满足=（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为（ ）A．B．C．D． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）20/2113．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=4csinC﹣bcosA，则cosC= ．14．当x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是 ．15．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．16．已知实数x，y满足，若z=ax+y有最大值7，则实数a的值为 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．（I）求AD1与EF所成角的大小；（II）求AF与平面BEB1所成角的余弦值．18．已知数列{an}满足a2=，且an+1=3an﹣1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式以及数列{an}的前n项和Sn的表达式；（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（I）求C的值；（II）若=2，b=4，求△ABC的面积．20．已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1，B1C，BC1，得到的图形如图所示．（I）证明BC1⊥平面AB1C；（II）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．20/2121．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，﹣），且离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上的亮点，且x1≠x2，点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形． 请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 20/212022-2022学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∃x0∈R，x02+sinx0+e＜1”的否定是（ ）A．∃x0∈R，x02+sinx0+e＞1B．∃x0∈R，x02+sinx0+e≥1C．∀x∈R，x2+sinx+ex＞1D．∀x∈R，x2+sinx+ex≥1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是：∀x∈R，x2+sinx+ex≥1，故选：D 2．抛物线y=9x2的焦点坐标为（ ）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化成标准形式，求出p的值，即可得到焦点坐标【解答】解：∵抛物线y=9x2，即x2=y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，），故选：B 3．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（ ）20/21A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为一般形式，求出解集即可．【解答】解：不等式3+5x﹣2x2＞0可化为2x2﹣5x﹣3＜0，即（2x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣＜x＜3，所以原不等式的解集为（﹣，3）．故选：C． 4．设=（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量，=（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（ ）A．l⊥αB．l∥αC．l⊂α或l⊥αD．l∥α或l⊂α【考点】平面的法向量．【分析】利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．【解答】解：∵•=3﹣4+1=0，∴．∴l∥α或l⊂α，故选：D． 5．已知正数a，b满足4a+b=3，则e•e的最小值为（ ）A．3B．e3C．4D．e4【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质、指数函数的运算性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足4a+b=3，∴==≥=20/21=3．当且仅当b=2a=1时取等号．则e•e=≥e3．故选：B． 6．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（ ）A．122B．99C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an}前n项和为Sn，S15=75，a3+a4+a5=12，∴，S11=11a1+=11×+=．故选：C． 7．已知各项均不为零的数列{an}满足an+12=anan+2，且32a8﹣a3=0，记Sn是数列{an}的前n项和，则的值为（ ）A．﹣B．C．﹣9D．9【考点】数列递推式．【分析】利用等比数列的通项公式可得公比q，再利用求和公式即可得出．【解答】解：各项均不为零的数列{an}满足an+12=anan+2，∴此数列是等比数列．设公比为q．∵32a8﹣a3=0，∴=0，解得q=．则===﹣=﹣20/21．故选：A． 8．已知抛物线C与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程为（ ）A．y2=±2xB．y2=±2xC．y2=±4xD．y2=±4x【考点】抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线得焦点坐标，从而可得抛物线的焦点坐标，进而写出抛物线方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的焦点为（，0）∴抛物线的焦点坐标为（，0）设抛物线的方程为：y2=±2px（p＞0）∴=，∴p=2，∴抛物线方程是y2=x．故选D． 9．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p转化到¬p，求出¬q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则¬p为﹣3≤x≤1，¬q为x≤a，又¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B． 10．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD=；④四边形ABCD的面积S=．其中正确结论的个数为（ ）20/21A．1B．2C．3D．4【考点】弦切角；圆周角定理．【分析】在①中，由余弦定理求出BD=；在②中，由AB⊥BD，知AD是该圆的一条直径；在③中，推导出CD=1；在④中，由四边形是梯形，高为，求出四边形ABCD的面积S=．【解答】解：在①中，∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，∵AD=2，AB=1，∴BD==，故①正确；在②中，∵AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，故②正确；在③中，3=1+CD2﹣2CD•（﹣），∴CD2+CD﹣2=0，∴CD=1，故③不正确；在④中，由③可得四边形是梯形，高为，四边形ABCD的面积S=，故④正确．故选：C． 11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：﹣=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（ ）A．32B．16C．8D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线C1的一条渐近线为y=x，利用点到直线的距离公式可知：丨F2M丨==b，丨OM丨==a，△OMF2的面积S=丨F220/21M丨•丨OM丨=16，则ab=32，双曲线C2的离心率e=，即可求得a和b的值，双曲线C1的实轴长2a=16．【解答】解：由双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线为y=x，∵OM⊥MF2，F2（c，0），∴丨F2M丨==b，∵丨OF2丨=c，丨OM丨==a△OMF2的面积S=丨F2M丨•丨OM丨=ab=16，则ab=32，双曲线C2：﹣=1的离心率e===，∴e===，解得：a=8，b=4，双曲线C1的实轴长2a=16，故选B． 12．已知梯形CEPD如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F满足=（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为（ ）A．B．C．D．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】20/21以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角从标系，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：由题意，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，4，0），E（4，0，2），C（4，4，0），P（0，0，4），A（0，0，0），B（4，0，0），设F（t，0，0），0≤t≤4，=（0＜λ＜1），则（t，0，0）=（4λ，0，0），∴t=4λ，∴F（4λ，0，0），=（4，﹣4，2），=（4λ，﹣4，0），=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，λ，2λ﹣2），设平面PCE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），∵平面DEF⊥平面PCE，∴=1+λ+2（2λ﹣2）=0，解得．故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=4csinC﹣bcosA，则cosC= ．【考点】正弦定理．20/21【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=4sin2C，结合C为锐角，可求sinC，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值．【解答】解：∵acosB=4csinC﹣bcosA，∴由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=4sin2C，又∵sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，∴sinC=4sin2C，∵C为锐角，sinC＞0，cosC＞0，∴sinC=，cosC==．故答案为：． 14．当x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是 ﹣2＜k＜2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得k2﹣4＜0，解不等式可求k的范围．【解答】解：∵x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，∴k2﹣4＜0，∴﹣2＜k＜2，故答案为：﹣2＜k＜2． 15．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC===20/21=≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：． 16．已知实数x，y满足，若z=ax+y有最大值7，则实数a的值为 ﹣ ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（7，10），由z=ax+y得y=﹣ax+z，若a=0，则y=﹣ax+z，在A处取得最大值，此时最大值为10，不满足条件．若a＞0，即﹣a＜0，此时在A处取得最大值，此时7a+10=7，即7a=﹣3，a=﹣，不成立，若a＜0，即﹣a＞0，此时在A处取得最大值，此时7a+10=7，即7a=﹣3，a=﹣，综上a=﹣，故答案为：﹣，20/21 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．（I）求AD1与EF所成角的大小；（II）求AF与平面BEB1所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）建立如图所示的坐标系，利用向量法求AD1与EF所成角的大小；（II）求出平面BEB1的法向量，利用向量法求AF与平面BEB1所成角的余弦值．【解答】解：（I）建立如图所示的坐标系，D（0，0，0），A（1，0，0），E（0，，1），F（，1，1），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（，，0），设AD1与EF所成角为α，∴cosα=||=，∴AD1与EF所成角的大小为60°；（II）=（0，0，1），=（﹣1，﹣，1），设平面BEB1的法向量为=（x，y，z），则，20/21取=（1，﹣2，0），∵=（﹣，1，1），∴AF与平面BEB1所成角的正弦值为||=，∴AF与平面BEB1所成角的余弦值为． 18．已知数列{an}满足a2=，且an+1=3an﹣1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式以及数列{an}的前n项和Sn的表达式；（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（1）由an+1=3an﹣1（n∈N*），可得an+1﹣=3（an﹣），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）不等式≤m，化为：≤m，由于=单调递减，即可得出m的求值范围．【解答】解：（1）∵an+1=3an﹣1（n∈N*），∴an+1﹣=3（an﹣），∴数列是等比数列，首项为3，公比为3．20/21∴an﹣=3×3n﹣1=3n，∴an=+3n，∴Sn=+=．（2）不等式≤m，化为：≤m，∵=单调递减，∴m≥=．∴实数m的取值范围是． 19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（I）求C的值；（II）若=2，b=4，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；余弦定理．【分析】（I）利用诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanC=，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值．（II）由余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（I）∵=．∴=，由正弦定理可得：，可得：tanC=，∴C=．（II）∵C=，=2，b=4，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：（2a）2=a2+（4）2﹣2×20/21，整理可得：a2+4a﹣16=0，解得：a=2﹣2，∴S△ABC=absinC=（2﹣2）××=2﹣2． 20．已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1，B1C，BC1，得到的图形如图所示．（I）证明BC1⊥平面AB1C；（II）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC1⊥平面AB1C．（Ⅱ）求出平面AB1C的法向量，和平面AB1E的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣C的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC=CC1=AB=1，则B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），B1（0，1，1），C（0，0，0），=（0，﹣1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，1），∴•=0，=0﹣1+1=0，∴BC1⊥AC，BC1⊥AB1，∵AC∩AB1=A，∴BC1⊥平面AB1C．20/21解：（Ⅱ）∵BC1⊥平面AB1C，∴=（0，﹣1，1）是平面AB1C的法向量，E（0，，0），=（﹣1，0，），设平面AB1E的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设二面角E﹣AB1﹣C的大小为θ，则cosθ===，∴θ=30°．∴二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°． 21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，﹣），且离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上的亮点，且x1≠x2，点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解得到a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）求出PA，PB，证明|PA|≠|PB|，即可证明：△PAB不可能为等边三角形．20/21【解答】（I）解：由题意，得，解得．∴椭圆C的标准方程为；（II）证明：证明：A（x1，y1），则，且x1∈[﹣，]，|PA|===，B（x2，y2），同理可得|PB|=，且x2∈[﹣，]．y=在[﹣，]上单调，∴有x1=x2⇔|PA|=|PB|，∵x1≠x2，∴|PA|≠|PB|，∴△PAB不可能为等边三角形． 请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出C的极坐标方程．（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为=0，圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，由此能求出l的斜率k．【解答】解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，20/21x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，∴直线l的直角坐标方程为=0，∵l与C交于A，B两点，且|AB|=，∴圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，解得cosα=，当cosα=时，l的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l的斜率k=tanα=﹣2． 23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，20/212|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）． 20/21
