2022-2022学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则复数z=（ ）A．﹣1﹣iB．1+iC．2iD．﹣1+i2．某年龄段的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x﹣85.71，给出下列结论，则错误的是（ ）A．y与x具有正的线性相关关系B．若该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgC．回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个D．回归直线一定过样本点的中心点（，）3．设随机变量ξ～N（2，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），则实数c的值为（ ）A．1B．2C．3D．04．定积分dx的值是（ ）A．+ln2B．C．3+ln2D．5．下列说法正确的是（ ）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”C．命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）A．B．C．D．7．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．将4名教师（含2名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且2名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（ ）15/16A．48B．36C．30D．609．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=±2x，则双曲线离心率为（ ）A．B．C．D．10．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（ ）A．a2+b2+c2＞ab+bc+caB．a﹣b+≥2C．|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|D．﹣≤﹣11．△ABC中，若D是BC的中点，则=（+）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体A﹣BCD中，若G为△BCD的①，则=（++），则①处应该填（ ）A．中心B．重心C．外心D．垂线12．设函数f（x）=x2+bln（x+1），如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b的取值范围是（ ）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，0）∪（0，）C．（0，）D．[0，] 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设（2﹣x）5的展开式中x3的系数为A，则A= ．14．如图，用4种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有 种（用数字作答）15．已知抛物线C：y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（，﹣1），则直线l的方程为 ．16．已知函数f（x）=ex﹣x2在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+y﹣6=0垂直，则切点坐标为 ． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）（Ⅰ）计算a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}通项公式an．18．甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投4次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过4次．15/16（Ⅰ）求甲同学至少投中3次的概率；（Ⅱ）求乙同学投篮次数X的分布列和数学期望．19．某课题主题研究“中学生数学成绩与物理成绩的关系”，现对高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按“优秀”和“不优秀”分类：数学和物理成绩都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学成绩不优秀的有100人．（Ⅰ）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4名学生中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的人数为X，求X的数学期望E（X），附：K2=P（K2≥k0）0.0100.0050.001 k06.6357.87910.8282×2列联表：数学优秀数学不优秀总计物理优秀物理不优秀总计20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD（Ⅱ）若AP=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．22．已知点P是椭圆E：+y2=1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足=+（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若已知点A（0，﹣2），过点A作直线l与椭圆E相交于B、C两点，求△OBC面积的最大值． 15/162022-2022学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则复数z=（ ）A．﹣1﹣iB．1+iC．2iD．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的几何意义先求出复数对应的点的坐标，利用点的对称性进行求解即可．【解答】解：==﹣1﹣i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），∵复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，1）对应的复数为z=﹣1+i，故选：D 2．某年龄段的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x﹣85.71，给出下列结论，则错误的是（ ）A．y与x具有正的线性相关关系B．若该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgC．回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个D．回归直线一定过样本点的中心点（，）【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，回归直线一定过样本点的中心点（，），但不一定过样本数据，可知A，B，D均正确，可以判断C错误．【解答】解：由线性回归方程=0.85x﹣85.71，0.85＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，故A正确；由线性回归方程可知该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故B正确；由线性回归直线一定过样本点的中心点（，），故D正确；回归直线不一定经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的点，故C错误，故答案选：C． 3．设随机变量ξ～N（2，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），则实数c的值为（ ）A．1B．2C．3D．015/16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=1对称，根据P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+3与点c﹣1关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），∴c+3+c﹣1=4，∴c=1故选：A． 4．定积分dx的值是（ ）A．+ln2B．C．3+ln2D．【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案．【解答】解：dx===ln2﹣ln1+=．故选：A． 5．下列说法正确的是（ ）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”C．命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据四种命题真假关系进行判断，B．根据全称命题的否定是特称命题进行判断，C．根据逆否命题的定义进行判断，D．根据复合命题真假关系进行判断．【解答】解：A．∵逆命题和否命题互为逆否命题，逆否命题的真假性相同，则一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但逆否命题不一定为真，故A错误B．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故B错误，C．命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误，D．若￢p为真命题，则p是假命题，若p或q为真命题，则q一定是真命题，故D正确故选：D 6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）15/16A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B． 7．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，故选：B． 8．将4名教师（含2名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且2名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（ ）A．48B．36C．30D．60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】首先分析题目4个老师分到3个学校，每个学校至少分到一人，求2名女教师不能分配到同一个学校的种数，考虑到应用反面的思想求解，先求出2名女教师在一个学校的种数，然后用总的种数减去2名女教师在一个学校的种数，即可得到答案．【解答】解：考虑用间接法，因为2名女教师分配到同一个学校有3×2=6种排法；将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有C42•A33=36种排法；故2名女教师不能分配到同一个学校有36﹣6=30种排法；故选：C． 15/169．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=±2x，则双曲线离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用准线和双曲线左顶点的关系求出a，结合双曲线的渐近线求出，b，c即可求双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣2，∵抛物线y2=8x的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点（﹣a，0），∴﹣a=﹣2，则a=2，∵双曲线的两条渐近线方程为y=±2x=±x=±x，∴=2，则b=4，则c===2，则双曲线的离心率e==，故选：D． 10．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（ ）A．a2+b2+c2＞ab+bc+caB．a﹣b+≥2C．|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|D．﹣≤﹣【考点】基本不等式；不等式的基本性质．【分析】A．a，b，c是互不相等的正数，可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＞0，展开化简即可判断出结论；B．a＜b时，（a﹣b）+=﹣≤﹣2，即可判断出正误；C．由绝对值的不等式的性质即可判断出结论；D．平方作差﹣=2﹣2＞0，即可判断出结论．【解答】解：A．∵a，b，c是互不相等的正数，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＞0，展开化为a2+b2+c2＞ab+bc+ca，因此恒成立；B．a＜b时，（a﹣b）+=﹣≤﹣2，因此不恒成立；C．由绝对值的不等式的性质可得：|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+b﹣c|=|a﹣c|，因此恒成立；15/16D．∵﹣=2﹣2＞0，∴+＞+，因此﹣＞﹣，因此恒成立．综上可得：只有B不恒成立．故选：B． 11．△ABC中，若D是BC的中点，则=（+）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体A﹣BCD中，若G为△BCD的①，则=（++），则①处应该填（ ）A．中心B．重心C．外心D．垂线【考点】三角形五心；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】在△ABC中，D为BC的中点，则有=（+），平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”得结论．【解答】解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，有：在四面体A﹣BCD中，若G为△BCD的重心，则=（++）．事实上，如图：若G为△BCD的重心，连接BG并延长交CD于E，连接AE，则==．故选：B． 12．设函数f（x）=x2+bln（x+1），如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b的取值范围是（ ）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，0）∪（0，）C．（0，）D．[0，]【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值⇔f′（x）==0在（﹣1，+∞）有两个不等实根⇔g（x）=2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根⇔△＞0且g（﹣1）＞0，解出即可．【解答】解：∵函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，15/16∴f′（x）==0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则△=4﹣8b＞0且g（﹣1）＞0，∴0＜b＜．故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设（2﹣x）5的展开式中x3的系数为A，则A= ﹣40 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．【解答】解：设（2﹣x）5的展开式的通项公式为Tr+1，则Tr+1=25﹣r•（﹣1）r•xr，令r=3，则A=（﹣1）3•25﹣3•=﹣40．故答案为：﹣40． 14．如图，用4种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有 84 种（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分类问题，B，C同色，有4种选择，A有3种选择，D有3种选择，当B，C不同色时，A有4种选择，B有3种选择，C有2种选择，D有2种选择，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：分类讨论：B，C同色，有4种选择，A有3种选择，D有3种选择，共有4×3×3=36种不同的涂色方案；B，C不同色，共有4×3×2×2=48种不同的涂色方案；∴共有36+48=84种不同的涂色方案故答案为：84． 15．已知抛物线C：y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（，﹣1），则直线l的方程为 y=﹣2x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求得直线l的斜率．利用点斜式方程即可得到结论．【解答】解解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在抛物线，∴y12=4x1，y22=4x2，15/16两式作差可得：y12﹣y22=4（x1﹣x2），即4（x1﹣x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），即AB的斜率k==，∵线段AB的中点为（，﹣1），∴=﹣1，则y1+y2=﹣2，∴k====﹣2．即直线l的斜率为﹣2．则对应的方程为y+1=﹣2（x﹣），即y=﹣2x，故答案为：y=﹣2x 16．已知函数f（x）=ex﹣x2在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+y﹣6=0垂直，则切点坐标为 （0，1） ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得e﹣x0=1，设g（x）=ex﹣x﹣1，求得导数和单调区间，和最值，即可得到切点坐标．【解答】解：f（x）=ex﹣x2的导数为f′（x）=ex﹣x，可得在点（x0，f（x0））处的切线斜率为k=e﹣x0，由切线与直线x+y﹣6=0垂直，可得e﹣x0=1，设g（x）=ex﹣x﹣1，导数为g′（x）=ex﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=0处取得极小值，且为最小值0．即有e﹣x0=1的解为x0=0，f（x0）=e0﹣0=1．则切点坐标为（0，1）．故答案为：（0，1）． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）15/16（Ⅰ）计算a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}通项公式an．【考点】数列递推式．【分析】（I）由a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），令n=1，2即可得出．（II）由an+1=2an+1，变形为：an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：（I）∵a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），∴a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7．（II）由an+1=2an+1，变形为：an+1+1=2（an+1），∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为2．∴an+1=2n，解得an=2n﹣1． 18．甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投4次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过4次．（Ⅰ）求甲同学至少投中3次的概率；（Ⅱ）求乙同学投篮次数X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设甲同学在四次投篮中，“至少投中3次”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲同学至少投中3次的概率．（Ⅱ）由题意知X可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设甲同学在四次投篮中，“至少投中3次”的概率为P，则P==．（Ⅱ）由题意知X可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）=（）3=，∴X的概率分布列为：X1234PE（X）==． 15/1619．某课题主题研究“中学生数学成绩与物理成绩的关系”，现对高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按“优秀”和“不优秀”分类：数学和物理成绩都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学成绩不优秀的有100人．（Ⅰ）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4名学生中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的人数为X，求X的数学期望E（X），附：K2=P（K2≥k0）0.0100.0050.001 k06.6357.87910.8282×2列联表：数学优秀数学不优秀总计物理优秀物理不优秀总计【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意得列联表，可计算K2≈16.667＞10.828，可得结论；（2）可得数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的概率为0.3，由题意可知X～B（4，0.3），可得期望．【解答】解：（1）由题意可得列联表：物理优秀物理不优秀总计数学优秀60140160数学不优秀100500640总计200600800因为K2=≈16.667＞10.828．所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关；（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的频率=0.3．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的概率为0.3．由题意可知X～B（4，0.3），从而E（X）=np=1.2． 20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD（Ⅱ）若AP=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．15/16【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AE，BC⊥AE，从而AD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PAD．（Ⅱ）推导出平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，又底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，又E是BC的中点，∴BC⊥AE，又BC∥AD，∴AD⊥AE，又AD∩PA=A，PA、AD⊂平面PAD，∴AE⊥平面PAD．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE•sin30°=，AO=AE•cos30°=，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin45°=，又SE==，在Rt△ESO中，=，∴二面角E﹣AF﹣C的余弦值为． 21．已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；15/16（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），a=1时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）①a≥时，f′（x）=≥0在[2，3]恒成立，f（x）在[2，3]递增，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣；②＜a＜时，令f′（x）＞0，解得：＜x＜3，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜，∴f（x）在[2，）递减，在（，3]递增，∴f（x）的最小值是f（）=ln+1﹣；③0＜a≤时，f′（x）≤0在[2，3]恒成立，f（x）在[2，3]递减，∴f（x）的最小值是f（3）=ln3﹣；综上，a≥时，f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣；＜a＜时，f（x）的最小值是f（）=ln+1﹣；0＜a≤时，f（x）的最小值是f（3）=ln3﹣． 22．已知点P是椭圆E：+y2=1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足=+（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若已知点A（0，﹣2），过点A作直线l与椭圆E相交于B、C两点，求△OBC面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．15/16【分析】（I）由a2=4，b2=1，可得c=，可得，F2=．设Q（x，y），P（x0，y0）．由动点Q满足=+，可得，y0=﹣，代入椭圆方程即可得出．（II）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2．B（x1，y1），C（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由△＞0，解得k2＞．利用根与系数的关系S△OBC=S△OAC﹣S△OAB=|OA|（|x2|﹣|x1|）=|x2﹣x1|=．代入换元利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I）∵a2=4，b2=1，∴c==，∴，F2=．设Q（x，y），P（x0，y0）．∵动点Q满足=+，∴，解得，y0=﹣，代入椭圆方程可得：=1，∴动点Q的轨迹方程为：=1．（II）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2．B（x1，y1），C（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由△＞0，解得k2＞．∴x1+x2=，x1x2=．S△OBC=S△OAC﹣S△OAB=|OA|（|x2|﹣|x1|）=|x2﹣x1|===．令=t＞0，化为4k2=t2+3．∴S△OBC==≤=1，当且仅当t=2时取等号，此时k=．15/16∴（S△OBC）max=1． 15/16
