河南省信阳市第一高级中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理说明：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．2．将第I卷的答案代表字母和第II卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a<0,1<b<2,则下列不等式成立的是（）A．a<ab<2aB．a>ab>2aC．ab>a>2aD．a>2a>ab2．抛物线C:y=x2的准线方程为（）A．x=1B．x=-1C．y=1D．y=-144443．已知数列{a}满足an+1=4an+3（nÎN*），且a=1，则a21=（）n41A．13B．14C．15D．164．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x¹1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题C．命题“$xÎR，使得x2+x+1=0”的否定是“"xÎR，均有x2+x+1>0D．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件5．已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距为4，离心率为2，则椭圆C的标准方程是（）2x2y2x2y2x2y2x2y2A．+=1B．+=1C．+=1D.+=148121616128412\n高二理科数学第1页（共4页）6．已知数列{a}满足an+1=1（nÎN*），a=2，则a=（）n1-an81A．5B．8C．7D.1911927．在DABC中，A=60°,b=1,SDABC=则c3,=（）sinC8B．2623339D．2A．C．781338．若关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0有两个实根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则b-3的取值范围为（）a-1A．[1,3]B．(1,3)é13ùæ13öC．ê，úD.ç2，÷ë22ûè2ø9．设数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an-3n（nÎN*），则a2022=（）A．22022-1B．32022-6æ1ö2022-7æ1ö2022-10C．ç÷2D．ç÷3è2øè3ø10．若两个正实数x,y满足1+4=1，且不等式x+y<m2-3m有解，则实数m的取xy4值范围为（）A．(-1,4)B．(-4,1)C．(-¥,-1)È(4,+¥)D.(-¥，0)È(3,+¥)11．已知F抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，曲线C是以F为圆心，p为半径的圆，21212\n直线4x-3y-2p=0与曲线C,C从上到下依次相交于A，B，C，D，则AB=12CDA．4B．16C．5D．83312．设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．ab<a+b<0B．a+b<ab<0C．ab<0<a+bD．a+b<0<ab高二理科数学第2页（共4页）第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．ìx³1,ï13．设变量x,y满足约束条件íx+y-4£0,则目标函数z=2x-y的最小值为_______．ïîx-3y+4£0,14．在钝角DABC中，AB=3,BC=3,A=30°，则DABC的面积为_________．，则1+215．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2022=2的最小值______．2a2022a202216．已知双曲线C:x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐a2b2近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若7FM=3FN，则双曲线的离心率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知条件p:x2-4ax+3a2<0(a¹0)；条件q:x2+2x-8>0．若Øp是Øq的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）在DABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2cosC(acosC+ccosA)+b=0．12\n（I）求角C的值；（II）若b=2，c=23，求DABC的面积．19．（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=1，且2nan+1-2(n+1)an=n(n+1)（nÎN*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若bn=2n×an，求数列{bn}的前n项和Sn．n+1高二理科数学第3页（共4页）20．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k(0£x£10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔3x+5热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（I）求k的值及f(x)的表达式；（II）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．21．（本小题满分12分）已知数列{an}满足1+2+3++n=3(32n-1)，（nÎN*）．aaaa2n813（I）求数列{an}的通项公式；（II）若bn=log3an，求证：1+1+1++1<1．bbbbnbbbb2122334nn+122．（本小题满分12分）12\n已知圆(x+3)2+y2=16的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(3,0)，点G在线段MP上，且满足(GN+GP)^(GN-GP)．（I）求动点G的轨迹C的方程；（II）过点T(4,0)作斜率不为0的直线与轨迹C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求DABQ面积的最大值．．高二理科数学第4页（共4页）12\n2022—2022学年上期中考20届高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案BDDBADCDACBA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分）．3．13．-1．14．3．15．4．16．1442三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．【解析】解：设x2-4ax+3a2<0(a¹0)的解集为A,由(x-a)(x-3a)<0，当a>0时，A=(a,3a)；当a<0时，A=(3a,a)．设x2+2x-8>0的解集为B,则B=(-¥,-4)È(2,+¥)．………5分由Øp是Øq的必要不充分条件可得p是q的充分不必要条件，即A是B的真子集．\a³2或a£-4．………10分18．【解析】（I）由正弦定理可得2cosC(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0，\2cosCsin(A+C)+sinB=0,即2cosCsinB+sinB=0,又0<B<p,\sinB¹0\cosC=-12，0<C<p,\C=23p.………6分（II）由余弦定理可得，(23)2=a2+22-2´2acos23p，a>0,\a=2.\SDABC=12absinC=3,\DABC的面积为3．………12分高二数学试题第1页（共5页）19．【解析】（I）由已知可得nan++11-ann=12，ìaü是以1为首项，公差为1的等差数列．12\n\数列íný2înþ\an=n+1,\an=n(n+1).………6分n22（II）bn=2n×a=n×2n-1nn+1.\Sn=1×20+2×21+3×22++n×2n-1\2Sn=1×21+2×22+3×23+n×2n两式相减可得-Sn=(1-n)2n-1，\Sn=(n-1)2n+1.………12分20．【解析】：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝k，3x＋5由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝3x40＋5.而隔热层建造费用为C1(x)＝6x，∴f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×40＋6x＝800＋6x(0≤x≤10)．………6分3x＋53x＋5(2)f(x)＝800＋6x3x＋5＝1600＋6x＋10－106x＋10≥21600×（6x＋10）－10＝70，6x＋10当且仅当1600＝6x＋10，即x＝5时取等号．6x＋10∴当隔热层修建厚度为5cm时，总费用最小，最小值为70万元．………12分高二数学试题第2页（共5页）21．【解析】（I）1=3(32a18næ12当n³2时，ç+aan=ça2è112\n-1)=++12\n3,nöæ12n-1ö÷ç÷a+a++a÷-ça2n-1÷nøè1ø=83(32n-1)-83(32n-2-1)=32n-1.\an=32nn-1(n³2).当n=1时，a1=13也成立，\an=32nn-1.………6分（II）bn=log3ann=-(2n-1),1=1=1-1,bb(2n-1)(2n+1)2n-12n+1nn+1\1+1++1bbbbbb1223nn+11éæ1-1öæ11öæ11öù=êç÷+ç-÷+ç-÷ú2332n-12n+1ëèøè5øèøû=1æ1-1ö2ç÷è2n+1øn³1\1æ1ö12ç1-÷<2.è2n+1ø\1+1+1++1<1.………12分bbbbbbbb212\n122334nn+122．解:（I）(GN+GP)^(GN-GP),\(GN+GP)×(GN-GP)=0即GN2-GP2=0,所以GN=GP,\GM+GN=GM+GP=MP=4>23=MN,所以点G在以M,N为焦点，长轴长为4的椭圆上．设椭圆的方程为x2+y2=1(a>b>0),a2b2则2a=4,2c=23,即a=2,c=3,\b2=a2-c2=1,高二数学试题第3页（共5页）所以点G的轨迹C的方程为x2+y2=1．………4分4ìx=my+4,（II）解法一：依题意可设直线l:x=my+4.ï2由íx2+y=1,ï4î得(m2+4)y2+8my+12=0.设直线与l椭圆C的两交点分别为A(x1,y1)B(x2,y2)，由D=16(m2-12)>0，得m2>12，①且y+y=-8m,yy=12.②m2+4m2+41212因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1-y1),可设Q(x0,0)，所以kBD=y2+y1=y2+y1，m(y2-y1)x2-x1所以BD的直线方程为y-y2=y1+y2(x-my2-4).m(y1-y2)令y=0,得x0=2my1y2+4(y1+y2).③y1+y2将②带入③得x0=24m-32m=1,-8m12\n所以点Q的坐标为(1,0).136m2-12因为S=S-S=QTy-y=(y+y2-4yy=,DABQDTBQDTAQ)22212121m2+4令t=m2+4,结合①得t>16,所以SDABQæ11ö21=6-16ç-÷+，64èt32ø当且仅当t=32，即m=±27时，(SDABQ)max=34.所以SDABQ面积的最大值为34.………12分高二数学试题第4页（共5页）解法二：依题意直线l的斜率存在且不为0，设其直线方程为l:y=k(x-4)，ìy=k(x-4),(4k2+1)y2ï+8ky+12k2=0由íx2+y2=1,得ï4î设直线与l椭圆C的两交点分别为A(x1,y1)B(x2,y2)，由D=(8k)2-4´(4k2+1)´12k2>0，得k2<1，①12且y+y2=-8k,yy=12k2.②14k2+1124k2+1因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1-y1),可设Q(x0,0)，所以kBD=y2+y1=ky2+y1，(y2-y1)x2-x112\n所以BD的直线方程为y-y2=ky1+y2(x-x2).(y1-y2)令y=0,得x0=2y1y2+4k(y1+y2).③(y1+y2k)将②带入③得x0=24k2-32k2=1,-8k2所以点Q的坐标为(1,0).136k2-12k42因为SDABQ=SDTBQ-SDTAQ=QTy-y=(y+y)-4yy2=,22121214k2+1令t=4k2+1,则k2t-14=，结合①得1<t<,34所以SDABQæ17ö21=3-4ç-÷+，816ètø当且仅当t=87，即k=±147时，(SDABQ)max=34.所以SDABQ面积的最大值为34.………12分12
