2022-2022学年高二第一学期期中考试理科数学试卷（百佳联盟质检命题组）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．盒子内分别有3个红球,2个白球,1个黑球,从中任取2个,则下列选项中两个事件互斥而不对立的是A.至少有1个白球,至多有1个白球B.至少有1个白球,至少有1个红球C.至少有1个白球,没有白球D.至少有1个白球,红、黑球各1个2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.B.C.D.3．双曲线的焦距是10，则实数m的值为A.－16B.4C.16D.814．已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为A.B.mC.3D.3m5．“”是“方程为椭圆方程”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝A.错误！未找到引用源。B.6C.12D.错误！未找到引用源。7．已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(-12,-15)，则E的方程为A.B.C.D.8.过抛物线错误！未找到引用源。 的焦点F的直线错误！未找到引用源。 交抛物线于A，B，交其准线于点C，若错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ，则抛物线的方程为-9-\nA.错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。9．设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是A.B.C.D.10．已知平面上两点M(-5,0),N(5,0),若一条直线上存在点P使得|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线:①y=x+1,②y=2,③y=x,④y=2x+1中为“单曲型直线”的是A.①②B.①③C.②③D.①④11．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2(＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是A.B.C.D.12．已知A1,A2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右顶点,椭圆C上异于A1,A2的点P恒满足,则椭圆C的离心率为A.B.C.D.第II卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的离心率为，则k的值为____.14．若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段的中点的轨迹方程是__________.15．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近的距离为1，则双曲线方程为________.16．与圆和圆B:都外切的圆的圆心P的轨迹方程为____.三、解答题（本大题共6小题，共70分）-9-\n17.(本小题满分10分)某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份1元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.(1)若售报亭一天购进280份报纸,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量x(单位:份)的函数关系式;日需求量x(份)240250260270280290300频数10201616151310(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量,整理得下表:①假设售报亭在这100天内每天都购进了280份报纸,求这100天的日平均利润;②若某天售报亭购进了280份报纸,以这100天记录的各需求量的频率作为概率,求当天的利润不超过100元的概率.18．(本小题满分12分)已知命题：函数为上单调减函数,实数满足不等式.命题：当，函数.若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图1的频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为.(1)求图1中a的值;(2)图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果S;(3)从质量指标值分布在的产品中随机抽取2件产品,求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率.-9-\n图3图420．(本小题满分12分)如图3,实轴长为的椭圆的中心在原点O,其焦点F1、F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O,对称轴为y轴,两曲线在第一象限内相交于点A,且△的面积为3.(1)求椭圆和抛物线的标准方程;(2)过点A的直线与抛物线和椭圆分别交于B、C两点,若错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,求直线的斜率的值.21．(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.22．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）如图4，已知P（2,3）、Q（2,﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.-9-\n高二理科数学参考答案1-5.DDCAB6-10.CBABA11-12CD13.4或14.x+4y=0()15.16. 17.(1)当x≥280且x∈N*时,y=280×(1-0.6)=112;当x<280且x∈N*时,y=(1-0.6)x-0.5×(280-x)=0.9x-140.综上,y=……………………………………………………………(4分)(2)①由(1)得,这100天中,每天利润为76元的有10天,每天利润为85元的有20天,每天利润为94元的有16天,每天利润为103元的有16天,每天利润为112元的有38天,所以这100天的日平均利润为=98.68(元).…………(7分)②利润不超过100元,即当且仅当报纸日需求量不大于260份,故当天的利润不超过100元的概率为P=0.1+0.2+0.16=0.46. ………………………………………(10分)18.设命题P、Q所对应的集合分别为A,B.对命题P:由函数为上的单调减函数可得,解之得,即;…………………………………………………………………(4分)对于命题Q:由可得,,当时,m取最小值a;当时,m取得最大值a+1,故.………………………(8分)-9-\n由题意:命题P是命题Q的充分不必要条件可得A是B的真子集,故,解之得.…(12分)19.(1)a=0.005(2)S=18(3)P=20.(1)设椭圆的标准方程为，,由题意知错误！未找到引用源。,解得c2=9,∴b2=12-9=3,∴椭圆的标准方程为.…………………………………………………………………(3分)设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).∵错误！未找到引用源。=·c=3,∴=1,将其代入椭圆方程得=2错误！未找到引用源。,将点A的坐标代入抛物线方程得p=4,∴抛物线的标准方程为x2=8y.………………………………(5分)(2)由题意可知,直线的方程为，设B(x1,y1),C(x2,y2),由错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,得,化简得.联立直线与抛物线的方程得错误！未找到引用源。,得,∴ ①,(7分)联立直线与椭圆的方程得错误！未找到引用源。-9-\n得,∴②,…………………………………………………………………(9分)∴整理得:,∴k=,∴直线的斜率k为.………………………(12分）21.（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴ ，∴ 所求椭圆方程为.………（4分）(2）设，.（1）当轴时，.………………………………………………………………（6分）（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为.由已知，得.把代入椭圆方程，整理得，，.…………………………………………………………(8分）-9-\n当且仅当，即时等号成立.当时，，综上所述.…………………………………………………………………………（10分）所以，当最大时，面积取最大值.……………………（12分） 22.(1）设椭圆的方程为，由题意知：抛物线x2=8y的焦点为：，所以可得；由，得,∴椭圆C的方程为.…………………………………………………………………（4分）(2)（1）解：设，直线的方程为，代入，得 ； 由，解得；由韦达定理得.四边形的面积∴当，.…………………………………………………………………………（7分）-9-\n（2）解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为，则的斜率为，的直线方程为 由代入（2）整理得，可得同理的直线方程为，可得∴………………………………………………………（10分）所以的斜率为定值.………………………………………………………………………（12分） -9-
