2022—2022学年度高三上学期数学期中考试试题一、选择题1．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（）A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值2．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是()A.B.C.D.3．已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（ ）A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称4．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5．已知，若，则当取得最小值时，（）A.2B.4C.6D.86．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（）8\n①数列是等差数列；②；③.A.0B.1C.2D.37．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线（）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A.B.C.D.18．若函数，则函数的零点个数是（）A.5个B.4个C.3个D.2个9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A.等边三角形B.直角三角形C.正方形D.正六边形10．已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.12．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，8\n则（）A.B.C.D.二、填空题13．已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.14．已知圆的弦长为，若线段是圆的直径，则____；若点为圆上的动点，则的取值范围是_____．15．在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．(1)数列的通项公式为=____________；(2)=___________．16．已知的三边垂直平分线交于点，分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．三、解答题17．函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：.18．已知函数.8\n（1）求在区间上的最值；（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.19．设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.（1）求；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.20．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时，外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围。8\n参考答案DBCDCBADBC11．A12．D13．14．215．;16．17．（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)证明见解析．（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．8\n要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．18．（Ⅰ）最大值是10+a，最小值是(Ⅱ)．（Ⅰ），由解得或；由解得，又，于是在上单调递减，在上单调递增．∵，∴最大值是10+a，最小值是．(Ⅱ)设切点，则，整理得，由题知此方程应有3个解．令，∴，8\n由解得或，由解得，即函数在，上单调递增，在上单调递减．要使得有3个根，则，且，解得，即a的取值范围为．19．（Ⅰ）(Ⅱ)．（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简3d=2a1，②联立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2(n-1)=2n+1．∴，∴．(Ⅱ)∵+11，即，∴，又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，∴．20．（1）（2）8\n（1）由抛物线的定义与圆的性质，可求出圆心到准线的距离用表示，可得值；（2）设，再由向量间关系可得坐标间关系，令直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得中点坐标，求出直线的垂直平分线方程，可求得点横坐标，进一步求出其取值范围．试题解析：根据题意，点在的垂直平分线上，所以点到准线的距离为，所以.（2）设，设直线代入到中得，所以，又中点，所以直线的垂直平分线的方程为，可得.8
