2022-2022学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共10个小题，满分50分，每小题5分，每小题给出四个选项，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）（2022•哈尔滨一模）某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ） A．8，8B．10，6C．9，7D．12，4考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．解答：解：每个个体被抽到的概率等于=，54×=9，42×=7．故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数． 2．（5分）对四组数据进行统计，画出下列四个散点图，对其线性相关系数比较，正确的是（ ） A．r3＜r2＜0＜r4＜r1B．r2＜r3＜0＜r4＜r1C．r3＜r2＜0＜r1＜r4D．r2＜r3＜0＜r1＜r4考点：散点图；两个变量的线性相关．专题：概率与统计．分析：根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．解答：解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图4是正相关，相关系数大于0，图2和图3是负相关，相关系数小于0，图1和图3的点相对更加集中，所以相关性要强，所有r1接近于1，r3接近于﹣1，由此可得r3＜r2＜0＜r4＜r1．故选A．点评：本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或﹣1）．14\n 3．（5分）复数z满足（1+i）z=2i，则z在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（1+i）z=2i，∴z===1+i，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），故选A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 4．（5分）某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是（ ） A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：利用相互独立事件的概率乘法公式求得甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概率，相加即得所求．解答：解：甲投进而乙没有投进的概率为=，乙投进而甲没有投进的概率为（1﹣）•=，故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是+=，故选D．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 5．（5分）曲线y=x+tanx﹣在点处的切线方程为（ ） A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程．14\n解答：解：∵f′（x）=1+，∴==3，∴曲线y=x+tanx﹣在点处的切线方程为y﹣1=3，化为．故选B．点评：熟练掌握导数的几何意义及其点斜式是解题的关键． 6．（5分）设全集U=R，集合A=，则A∩（∁UB）等于（ ） A．B．C．D．[﹣2，2]考点：补集及其运算；元素与集合关系的判断；交集及其运算．专题：计算题．分析：由三角函数的值域可得集合A，进而由集合的运算可得答案．解答：解：由题意可得当时，≤2sinx＜1，故集合A={x|≤x＜1}，而CUB={x|x，或x}，故A∩（∁UB）=故选B点评：本题考查集合的运算，涉及三角函数的值域，属基础题． 7．（5分）电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2022）等于（ ） A．B．C．D．考点：超几何分布．专题：概率与统计．分析：先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解答：解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2022）=1﹣P（X=0）=故选B．14\n点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题． 8．（5分）在R上定义运算*：a*b=2ab+2a+b，且，则不等式f（x）＜﹣1的解集为（ ） A．B．C．D．（﹣1，2）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先利用新定义确定函数f（x）的表达式，然后通过讨论求解不等式．解答：解：由定义运算可得，当x≤0时，f（x）=2x（x﹣2）+2x+x﹣2=2x2﹣x﹣2．当x＞0时，f（x）=﹣2x（x﹣1）+2（x﹣1）﹣x=﹣2x2+3x﹣2．所以当x≤0时，由f（x）＜﹣1得2x2﹣x﹣2＜﹣1，即2x2﹣x﹣1＜0，解得，所以此时不等式的解．当x＞0时，由f（x）＜﹣1得﹣2x2+3x﹣20，解得x＞1或x＜，所以此时不等式的解为x＞1或0＜x＜．所以不等式的解为x＞1或，所以不等式的解集为（﹣）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题的考点是新定义以及一元二次不等式的解法．在解不等式时要进行分段求解． 9．（5分）已知函数f（x）=ex﹣x2，g（x）=alnx+b（a＞0），若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a，b的取值范围是（ ） A．0＜a≤，b≥e﹣1B．0＜a≤，b≤e﹣1 C．a≥，b≥e﹣1D．a≥，b≤e﹣1考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2），等价于x∈[1，2]时f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性求得两函数的值域，由集合的包含关系可得不等式，解出即可．解答：解：因为当x∈[1，2]时，f′（x）=ex﹣2x＞0，所以f（x）在[1，2]上递增，14\n所以x∈[1，2]时，f（1）≤f（x）≤f（2），即e﹣1≤f（x）≤e2﹣4，由a＞0得g（x）=alnx+b在[1，2]上递增，所以x∈[1，2]时，g（1）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤aln2+b，又对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2），所以有[e﹣1，e2﹣4]⊆[b，aln2+b]，则故e2﹣4﹣aln2≤b≤e﹣1，得到，a≥，b≤e﹣1故答案为D点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数单调性的应用，考查恒成立问题，本题中对恒成立问题的等价转化是解决问题的关键． 10．（5分）已知函数f（x）=sinx，x∈（0，2π），点P（x，y）是函数f（x）图象上任一点，其中0（0，0），A（2π，0），记△OAP的面积为g（x），则g'（x）的图象可能是（ ） A．B．C．D．考点：函数的图象；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：先利用图象确定△OAP的面积为g（x），然后利用导数求出g'（x），然后确定函数g'（x）的图象．解答：解：当0＜x＜π时，．当x=π时，g（x）不存在．当π＜x＜2π时，．所以，所以．故g'（x）的图象可能是A．故选A．点评：本题主要考查了函数的导数运算以及函数图象的判断和识别，先通过条件确定函数g（x）的表达式是解决本题的关键． 14\n二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应的横线上．）11．（5分）函数y=lnx•sin2x（x＞0）的导函数是 ．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用积的导数运算公式和复合函数的求导公式进行求导．解答：解：由积的导数公式得．故答案为：．点评：本题主要考查了导数的四则运算，要求熟练掌握导数的运算公式和运算法则． 12．（5分）二项式的展开式中所有二项式系数的和为32，且此二项展开式中x10项的系数为a，则的值为 ．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：根据所有二项式系数的和为2n=32，求得n=5．由此求得二项式的通项公式，令x的幂指数等于10，求得r=1，从而求得此二项展开式中x10项的系数为a=1，从而求得的值．解答：解：由于二项式的展开式中所有二项式系数的和为2n=32，∴n=5．故二项式的通项公式为Tr+1=•5﹣r•x15﹣3r•x﹣2r=5﹣r••x15﹣5r，令15﹣5r=10，r=1，故此二项展开式中x10项的系数为a==1，则=（+ex）=e﹣，故答案为e﹣．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题． 13．（5分）观察下列等式2=2第1个等式4+6=10第2个等式6+8+10=24第3个等式8+10+12+14=44第4个等式…14\n按此规律，第n个式子的右边等于 3n2﹣n ．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：由图知，第n个等式左边是n个偶数的和，第一个偶数是2n，由等差数列的求和公式计算出第n个等式的和．解答：解：由表可知，第n个等式的等式左边是第一个偶数是2n，n个连续偶数的和结果为n•2n+=3n2﹣n故答案为：3n2﹣n点评：本题考查归纳推理，解题的关键是归纳出规律：第n个等式左边是n个偶数的和，第一个偶数是2n，这此偶数组成一个公式差为2的等差数列 14．（5分）将大小相同5个不同颜色的小球，放在A、B、C、D、E共5个盒子中，每个球可以任意放在一个盒子里，则恰有两个盒子空且A盒子最多放1个球的放球方法总数为 1020 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：①若A盒为空：则从剩余的4个盒子中选出3个盒子，使各个盒子中的小球数为3、1、1求得方法数；若3个盒子中小球的数量为2、2、1，求得方法数，相加即得此时方法数为600．②若A盒不为空（即放一个球）求得方法数为420，再把①②的方法数相加，即得所求．解答：解：①若A盒为空：这相当于5个球进入了3个盒子中．则从剩余的4个盒子中选出3个盒子，使各个盒子中的小球数为3、1、1，方法有•=240种，若3个盒子中小球的数量为2、2、1，则有（•••）÷=360种，故此时方法共有240+360=600种．②若A盒不为空（即放一个球）则先把A盒子中放入一个球，方法有5种，再从剩余的4个盒子中取出2个盒子，放入小球，方法有5（+）=420种．综上，放球的方法有600+420=1020种，故答案为1020．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 15．（5分）关于下列命题：①若一组数据中的每一个数据都加上同一个数后，方差恒不变；②满足方程f'（x）=0的x值为函数f（x）的极值点；③命题“p且q为真”是命题“p或q为真”的必要不充分条件；14\n④若函数f（x）=logax的反函数的图象过点（﹣1，b），则a+2b的最小值为；⑤点P（x，y）是曲线y2=4x上一动点，则的最小值是．其中正确的命题的序号是 ①④⑤ （注：把你认为正确的命题的序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型．分析：①利用方差的定义和公式进判断．②利用导数和极值之间的关系进行判断．③利用复合命题的真假关系和充分条件，必要条件的关系进行判断．④利用反函数的性质和基本不等式进行判断．⑤利用抛物线的定义判断．解答：解：①若两个x，y变量满足y=x+b，则根据方差公式有Dy=Dx，所以①正确．②根据函数极值的定义可知，若函数取得极值，则一定有f'（x）=0，但反之未必成立，还要判断，函数在x处的两侧单调性是否发生变化，所以②错误．③若p且q为真，则p，q同时为真，若p或q为真，则p，q至少有一个为真，所以命题“p且q为真”是命题“p或q为真”的充分不必要条件，所以③错误．④函数f（x）=logax的反函数的为y=ax，因为图象过点（﹣1，b），所以a﹣1=b，即ab=1，由基本不等式得a+2b≥，当且仅当a=2b时取等号，所以④正确．⑤抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，则的几何意义是点P到准线x=﹣1和到M（0，1）的距离之和，所以由抛物线的定义可知|PE|+|PM|=|PF|+|PM≥|MF|，即M，P，F三点共线时距离之和最小，此时|MF|=．所以⑤正确．故答案为：①④⑤．点评：本题考查了各种命题真假的判断，要求熟练掌握相关的知识和性质．其中在⑤的判断过程中要利用数学结合的数学思想，同时也要根据抛物线的定义进行转化． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）14\n16．（12分）在一段时间内有100辆汽车经过某交通岗，时速（单位：km/h）频率分布直方图如图所示，（1）求时速超过60km/h的汽车的数量；（2）从时速在[30，40）与[70，80]的两部分中共取两辆汽车，速度分别为v1，v2，求这两辆汽车的时速满足|v1﹣v2|≤10的概率．（3）以在这段时间内经过交通岗的汽车的频率为概率，求在此交通岗经过的5辆汽车中恰有2辆汽车的速度在[40，50）的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率直方图先求出时速超过60km/h的两个矩形的面积，然后确定汽车数量．（2）结合频率直方图求出时速在[30，40）与[70，80]的车辆数，然后利用古典概型求满足条件的概率．（3）利用独立事件同时发生的概率公式求在此交通岗经过的5辆汽车中恰有2辆汽车的速度在[40，50）的概率．解答：解：（1）时速超过60km/h的汽车的数量为（0.03+0.01）×10×100=40（辆）；（2）记两辆汽车的时速满足|v1﹣v2|≤10为事件A；又两辆汽车的时速满足|v1﹣v2|≤10，即：在[30，40）中共取两辆汽车或在[70，80]中共取两辆汽车，而[30，40）中有5辆车，[70，80]中有10辆车；则：；（3）记此交通岗经过的5辆汽车中恰有2辆汽车的速度在[40，50）为事件B，又在这段时间内经过交通岗的汽车速度在[40，50）的概率为，则；点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．统计往往和概率进行结合． 17．（12分）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ14\n（1）若点A（1，），点P是曲线C上任一点，求的取值范围；（2）若直线l的参数方程是，（t为参数），且直线l与曲线C有两个交点M、N，且，求m的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；平面向量数量积的运算；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（1）点A化成直角坐标为（0，1），曲线C的极坐标方程化成直角方程，可得当直线AP过圆心C（2，0）时，最大（或最小）．再根据|AC|=，可得，从而求得的取值范围．（2）把直线l的参数方程化成普通方程为x﹣y﹣m=0，又直线l与曲线C有两个交点M、N，且=0，可得圆心C（2，0）到直线l的距离为，由此求得m的值．解答：解：（1）点A（1，）化成直角坐标为（0，1），曲线C：p=4cosθ化成直角方程为（x﹣2）2+y2=4．（2分）当直线AP过圆心C（2，0）时，最大（或最小）．再根据|AC|=，可得，∴的取值范围为．（6分）（2）把直线l的参数方程化成普通方程为x﹣y﹣m=0，又直线l与曲线C有两个交点M、N，且=0，则：圆心C（2，0）到直线l的距离为；即：，∴m=0或4．（12分）点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 18．（12分）已知f（x）=（1+mx）2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022（x∈R）（1）若m=，求m、a0及a1的值；（2）若离散型随机变量X～B（4，）且m=EX时，令bn=（﹣1）nnan，求数列{bn}的前2022项的和T2022．考点：离散型随机变量的期望与方差；定积分；数列的求和．14\n专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出原函数，即可求得积分，利用赋值法，可求a0及a1的值；（2）利用二项分布的期望公式，可求m的值，利用函数关系式，两边求导，再赋值，即可得到结论．解答：解：（1）∵∴==1，则：，令x=0得：a0=1，且；（2）∵离散型随机变量且m=EX∴m=2，∴则两边取导得：令x=﹣1得：4026（1﹣2）2022=a1﹣2a2+3a3﹣4a4…+2022a2022即：﹣a1+2a2﹣3a3+4a4﹣…﹣2022a2022=﹣4026；∴数列{bn}的前2022项的和T2022=﹣4026．点评：本题考查定积分，考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 19．（12分）吉安市某校高二年级抽取了20名学生的今年三月、四月、五月三个月的月考的数学、化学成绩，计算了他们三次成绩的平均分如下表：学生序号12345678910数学120105911248513212110078135化学70687482787181625490学生序号11121314151617181920数学13292851231009710196103105化学85655377638573458472该校规定数学（≥120分）为优秀，化学（≥80分）为优秀，其余为不优秀．（1）从这20名学生中随机抽取2名，用X表示数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望；（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过10%的前提下认为化学成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关？考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）确定X的可能取值，求出相应的概率，即可得到分布列，从而求出数学期望；（2）写出列联表，求出X2，与临界值比较，即可得到结论．14\n解答：解：（1）由已知可得：数学成绩优秀的人数为7，数学成绩不优秀的人数为13，则X可能取的值为0，1，2；（1分）且，，（4分）则X的分布列为且+（6分）（2）由已知可得：这名学生数学优秀及不优秀，化学优秀及不优秀的人数如下表数学优秀数学不优秀合计化学优秀426化学不优秀31114合计71320（8分）则：（10分）则：可以认为在犯错误的概率不超过10%的前提下化学成绩优秀和数学成绩优秀有关．（12分）点评：本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足an2，Sn，n成等差数列，an＞0（n∈N*）．（1）写出an与an﹣1（n≥2）的关系并求a1，a2，a3；（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（3）设x＞0，y＞0，且x+y=2，求（anx+2）2+（any+2）2的最小值（用n表示）．考点：数学归纳法；基本不等式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由题意可得由①当n≥2时，②，两式相减得数列的递推关系式，分别令n=1，2，3，即可求出a1，a2，a3值．（2）猜想an=n，检验n=2时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．（3）由于x＞0，y＞0，且x+y=2，an=n，利用基本不等式即可求出的最小值．14\n解答：解：（1）由①可知，当n≥2时，②①﹣②，得，即．（2分）∵an＞0分别令n=1，2，3，得a1=1，a2=2，a3=3．（4分）（2）猜想：an=n，1）当n=2时，结论显然成立．2）假设当n=k（k≥2）时，ak=k．那么当n=k+1时，+k2﹣1⇒[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，∵ak+1＞0，k≥2，∴ak+1+（k﹣1）＞0，∴ak+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立，∴an=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．故对于n∈N*，均有an=n（9分）（3）∵x＞0，y＞0，且x+y=2，an=n，∴，∴的最小值为2（n+2）2．（13分）点评：本小题主要考查数学归纳法的应用、基本不等式的应用、数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 21．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间及极值；（2）令g（x）=（1﹣a）x，当x∈[e﹣1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）令an=1+，记数列{an}的前n项积为Tn，求证：Tn＜e2．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=﹣1时，对函数求导，然后利用单调性和极值与导数的关系进行求解．（2）将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利用导数求构造函数的最值．（3）根据数列的通项公式，构造对应的函数，然后利用函数的单调性去证明不等式．14\n解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1）∴当x∈（﹣1，0）时f'（x）＞0；当x∈（0，+∞）时f'（x）＜0∴当x=0时f极大值（x）=f（0）=0，无极小值，且函数f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）；（4分）（2）当x∈[e﹣1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立等价于ln（1+x）﹣（1﹣2a）x≥0即：恒成立．令，∴当x∈[e﹣1，2]时，则：∴∴则实数a的取值范围（9分）（3）由（1）得：当x＞0时，f（x）在区间（0，+∞）单调递减，则：ln（1+x）﹣x＜0，即：ln（1+x）＜x，∴，则：记：①∴②①﹣②得：∴∴（12分）∴lnTn＜2则：（14分）点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性以及极值和最值问题，对于不等式恒成立问题往往是将不等式进行参数分类，转化为含参问题恒成立问题． 14
