2022届高三年级热身考试数学(理)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题组出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A.B.C.D.2.已知是各项均为正数的等比数列，，则A.20B.32C.80D.3.若集合，集合，则是“”()A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②一个命题的逆命题正确，此命题的否命题不一定正确；③线性回归方程必过点；④设随机变量且，则实数⑤，使得成立其中错误的个数是()A.1B.2C.3D.45.如右图，已知为如图所示的程序框图输出的结果，二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为()A．B．C．D．6.已知函数，则，，的大小关系为()A．B．C．D．7.已知点是圆内任意一点，点是圆上任意一点，则实数()A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数8.建立从集合到集合的所有函数，从中随机的抽取一个函数，其值域是B的概率为()-9-A.B.C.D.9．设满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为()A．B．C．D．10．如图，在等腰梯形中，，且，设=，∈(0，)，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，设的大致图像是()二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11.已知上的投影为.12.某实心机械零件的三视图如右图所示，则该机械零件的体积为。13.在直角三角形中，，过作边的高，有下列结论。请利用上述结论，类似地推出在空间四面体中，若，点到平面的高为，则.14．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2022时，对应的指头是(填指头的名称)．三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。15.(A)（坐标系与参数方程选做题)在直角坐标中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线-9-的参数方程为(为参数，)与的交点的直角坐标为.(B)(不等式选做题)设对任意实数恒成立，则x取值集合是.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知：满足：的图象关于直线对称。(1)求函数的解析式：(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的2位(纵坐标保持不变)，得到函数，求方程在区间上的所有根之和。17.(本小题满分12分)右表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知(1)求数列{}的通项公式；(2)设求数列{的前n项和．18.(本小题满分12分)公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用的规定》于2022年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一(理论一)，科目一过关后才能再考科目二(桩考和路考)，科目二过关后还要考科目三(理论二)，只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证，某驾校现有100名新学员，第一批参加的20人各科目通过的人数情况如下表：参考人数通过科目一人数通过科目二人数通过科目三人数201242请你根据表中的数据(1)估计该驾校这100名新学员有多少人一次性(不补考)获取驾驶证；(2)第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目的一考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；(3)该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元，现从这20人中随机抽取1人，记为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求的数学期望。19.(本小题满分12分)如图所示，在矩形中，是对角线，过点作，垂足为，交于，以为折痕将向上折起，使点到点的位置。(1)若平面与平面所形成的二面角的大小为1200，求四棱锥-9-的体积；(2)若，求二面角的余弦值。20.(本小题满分13分)如图，已知直线与抛物线相切于点)且与轴交于点为坐标原点，定点B的坐标为.(1)若动点满足|=，求点的轨迹.(2)若过点的直线(斜率不等于零)与(1)中的轨迹交于不同的两点，试求与面积之比的取值范围.21.(本小题满分14分)(1)已知函数为有理数且)，求函数的最小值;(2)①试用(1)的结果证明命题：设为有理数且，若时，则；②请将命题推广到一般形式，并证明你的结论；注：当为正有理数时，有求导公式()()热身考试理数参考答案1-5：ACBBB6-10：AACCD11.312.13.14.小指15.A.B.-9-18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为，估计这100名新学员中有人；………………………………………3分（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，则……………………………6分（3）设这个学员一次性过关的科目数为Y，则Y的分布列为-9-Y0123P……8分……………………………10分而X=100Y，所以……………………12分-9-20.解：（I）由，∴直线的斜率为，………1分故的方程为，∴点A坐标为（1，0）……………………………2分设则，由得整理，得………………………………4分∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．………………………………………………………5分（II）如图，由题意知直线的斜率存在且不为零，设方程为y=k(x－2)(k≠0)①将①代入，整理，得，由得.设则②……………………………………………………7分令，由此可得由②知-9-.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是.……13分21．解：（Ⅰ）令得当时，，故在上递减．当，故在上递增．所以，当时，的最小值为….……………………………………..5分（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知，，即….……..8分（ⅱ）命题推广到一般形式为：设为有理数且，若时，则.….……..9分下面用数学归纳法证明如下：①当时，由（Ⅱ）（ⅰ）知，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，那么时，要证，即证，设函数，则，令，得，当时，，故在上递减；当，类似可证，故在上递增．当时，的最小值为-9-，由归纳假设知，所以，，时不等式成立.综上，原命题得证.….……………………………………..14分-9-
