江西省吉安县二中2022届高三数学考试（理科）参考公式：如果事件互斥，那么球的体积公式其中表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。1．复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A．B．C．D．2．设的值（ ）A．B．C．D．3．下列有关命题的说法正确的是（ ）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（ ）5．右面是“二分法”求方程在区间上的近似解 的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（ ）A．；是；否B．；是；否C．；是；否D．；否；是-8-6．已知数列的通项公式是，其前项和是，对任意的且，则的最大值是（）A．B．C．D．7．已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．8．函数在坐标原点附近的图象可能是（ ）9．如右图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则满足的概率为（ ）A．B．C．D．10．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上11.若二项式的展开式中的常数项为,则= .12．如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是 ．13．已知实数满足，若不等式恒成立，则实数的最大值是________________．14．已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为．-8-三、选做题（本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分）15．①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点，参数，点Q在曲线C：上，则点与点之间距离的最小值为．②（不等式选讲选做题）若存在实数满足,则实数的取值范围是___．四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别且,，若，求的值．17．（本小题满分12分）目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，．沿将翻折到的位置，使平面平面．（1）求证：平面；（2）设点满足，试探究：当取得最小值时，直线与平面所成角的大小是否一定大于？并说明理由．-8-19．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值；（3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）．20.（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴负半轴上有一点，且（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（本题满分14分）已知，函数（1）求的极小值；（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．-8-高三数学（理）参考答案一、选择题题号12345678910答案BADDCDCABA二、填空题11．12．13．14．三、选做题15．①4-1 ②四、解答题16．解析：（1）……………．3分则的最大值为0，最小正周期是………………………………………………6分（2）则由正弦定理得①………………………………9分由余弦定理得即②由①②解得………………………………………12分17．解：（1）（2）所有可能取值有0，1，2，3，，-8-………………………………………………10分所以的分布列是0123所以的期值是……………………………………12分18．解：（1）证明：∵ 菱形的对角线互相垂直，∴，∴，∵，∴．∵ 平面⊥平面，平面平面，且平面，∴ 平面,∵平面，∴ ．∵，∴ 平面．………………………………4分（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系．设因为，所以为等边三角形，故，．又设，则，．所以，，，故，所以，当时，．此时，………………………………6分设点的坐标为，由（1）知，，则，，，．所以，，∵， ∴．∴，∴．10分设平面的法向量为，则．∵，，∴ 取，解得：，所以．………………………………8分设直线与平面所成的角，∴-8-．………………………………………………10分又∵∴．∵，∴．因此直线与平面所成的角大于，即结论成立．……………………………12分19．解：（1）当时，由.又与相减得：，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；…………4分（2）设和两项之间插入个数后，这个数构成的等差数列的公差为，则，又，故………………………………8分（3）依题意，，考虑到，令，则，所以…………………………12分20．解：（1）由题意，得，所以又由于，所以为的中点，所以所以的外接圆圆心为，半径…………………3分又过三点的圆与直线相切，所以解得，所求椭圆方程为……………………………………………………6分（2）有（1）知,设的方程为：将直线方程与椭圆方程联立,整理得设交点为，因为-8-则……………………………………8分若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，由于菱形对角线垂直，所以又又的方向向量是，故，则，即由已知条件知………………………11分，故存在满足题意的点且的取值范围是………………13分21．解：（1）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故．…………………………………………………………………4分（2），，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是．…………………9分（3）构造函数，当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．…………………14分另法:（Ⅲ）当时，．当时，由，得，令，则，所以在上递减，．综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．……………………………………………………………………………………………14分-8-
