南昌三中2022—2022学年度上学期第五次考试高三数学（文）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数的对应点为，则()A.BC.D.2.已知全集U=R，集合，集合，则（）A．B．C．D．3.设是空间中两条不同的直线，是平面，,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若∧为假命题,则,均为假命题；③命题：，则.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.35.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B．C.0D．6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（）A．5B．6C．4D．37.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．8.外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（ ）A． B． C． D．9.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()10/10A．7B．9C．10D．1110.已知实数满足，则的最大值为()A.1B.2C.3D.411.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是()A．B．C．D．12．已知数列的通项公式为:,且若数列为递增数列,则()．A．-2B．-1C．1D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则.14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为.15.设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若AB=23，则圆C的面积为.16.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，，且，求的长度.18.（本题满分12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为10/10．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）19．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）（文科）若底面为正方形且，求三棱锥的体积。20．（本小题满分12分）已知函数，．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若，，求的值。xyODAB21．（本小题满分12分）如图，已知点D（0，－2），过点D作抛物线：的切线切点A在第二象限。（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过A点，设切线交椭圆的另一点为B，若设切线,直线OA，OB的斜率分别为,,①试用斜率表示，②当取得最大值时求此时椭圆的方程。请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．10/1023.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．高三数学（文）答卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数的对应点为，则(B)A.BC.D.2.已知全集U=R，集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，又因为，所以，所以，故选C.3.设是空间中两条不同的直线，是平面，,则“”是“”的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若∧为假命题,则,均为假命题；③命题：，则.其中正确的个数是（【B】）A.0B.1C.2D.3【解析】（1）∵命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）错误;（3）根据含量词的命题否定方式，可知命题(3)正确.5.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B．C.0D．【答案】B6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（）10/10A．5B．6C．4D．3【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为，设顶层的灯数为，则，解之得，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.7.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A8.外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为所以，所以三点共线即；又因为，所以，所以故向量在向量上的投影为选A．9.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(B)(A)7(B)9(C)10(D)1110.已知实数满足，则的最大值为(D)A.1B.2C.3D.411.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是(D))(A)(B)(C)(D)12．已知数列的通项公式为:,且若数列为递增数列,则()．A．-2B．-1C．1D．2答案:B．解析:要使数列为递增数列，则恒成立．∴恒成立，恒成立（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴．10/10（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴．即，又为非零整数，则．故选B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则.答案:14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为.【答案】415.设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若AB=23，则圆C的面积为.【答案】16.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是________.解：（1）命题在上恒成立在上恒成立，令则，，当时故在上单调递增，；当时，记，则在上单调递减，当时，不符合题意，综上的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，，且，求的长度.【解析】（Ⅰ），∴，∴，∵，∴；（Ⅱ），，，且，∴，即，解得或（舍），∵，∴，∴，将和代入并化简得.18.（本题满分12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计10/10已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）18.解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100．．．4分因为．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为，共10种．．．．10分其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为，共6种．．．． 11分所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为．．．．．．．．．．．．12分19．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）（文科）若底面为正方形且，求三棱锥的体积。19．解：（Ⅰ）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以.而，所以.而，所以平面.而，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.10/10（Ⅱ），20．（本小题满分12分）已知函数，．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若，，求的值。解：(1)由已知得，x＞0且①当时，,f(x)在是减函数,在是增函数．②当时，,f(x)在是减函数,在和是增函数．③当时，,f(x)在是增函数．④当时，,f(x)在是减函数,在和是增函数．（2）由（1）知，当时,f(x)在是增函数．则, 故当时，f(x)在是减函数,在是增函数．则时，，矛盾。综上，21．（本小题满分12分）如图，已知点D（0，－2），过点D作抛物线：的切线切点A在第二象限。（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过A点，设切线交椭圆的另一点为B，若设切线,直线OA，OB的斜率分别为,,①试用斜率表示，②当取得最大值时求此时椭圆的方程。xyODAB21、解：（1）设切点A，依题意则有解得，即A点的纵坐标为2，（2）依题意可设椭圆的方程为，直线AB方程为：；由得①由（1）可得A，将A代入①可得，故椭圆的方程可简化为；…5分10/10联立直线AB与椭圆的方程：消去Y得：，则…10分又∵,∴k∈［－2，－1］；即…12分(3)由可知上为单调递增函数，故当k=-1时，取到最大值，此时P＝4，故椭圆的方程为…14分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．【解析】（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，即，…2分，将代入，得，…4分。所以的极坐标方程为．…5分（Ⅱ）将代入得，所以的方程为．…7分的极坐标方程为，．又，所以……………………10分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．【分析】本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．10/10【解析】（Ⅰ）由得，或…………2分解得．依题意．………5分（Ⅱ）因为，当且仅当时取等号，…7分。因为关于的方程（）有实数根，所以．8分另一方面，，所以，…9分，所以或．……10分10/10
