南康中学2022～2022学年度第一学期高一第一次大考数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．把集合用列举法表示为( )A．{，}B．{x|或}C．{}D．{}2．下列对应关系：①，，的平方根；②,的倒数；③,；④,,.其中是到的映射的是( )A.①③B.②④C.②③D.③④3.已知，则（）A．2B．3C.4D．54.已知集合，集合，则与的关系是（）A.B.C.D.且5．已知集合则（）A．[2,3]B．C．[1,2)D．6.下列函数中，在上为增函数的是()9\nA.B.C.D.7.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取，2四个值，相应曲线、、、的依次为（）A．B．C．D．8.已知是定义在上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C.D．9.已知函数，且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．10.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.若、是关于的方程（）的两个实根，则的最大值等于（）A．6B．C．18D．1912．若函数是偶函数，则的最小值为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）13.设集合，.若，则.（用列举法表示）14.已知集合，则．9\n15.已知函数的值域为,则实数的取值范围为16.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数．其中正确的结论的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设函数的定义域为集合，已知集合，，全集为．（I）求；（II）若，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知集合，.(Ⅰ)当时,集合的元素中整数有多少个？（Ⅱ）若,求实数的取值范围.9\n19.（本小题满分12分）已知函数是定义在R上的偶函数，已知当时，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；(3)试确定方程的解个数.20．（本小题满分12分）某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)① ②(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B9\n两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？21.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）判断函数在定义域内的单调性，并用定义证明；（3解不等式.22.（本小题满分12分）已知幂函数在上单调递增．（1）求实数的值，并写出函数的解析式；（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在整数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)设函数,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.9\n南康中学2022～2022学年度第一学期高一第一次大考数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DDACBBBACDCC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）13.14.15.16.①②③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）;---------------5分即实数的取值范围为.---------------10分9\n注:第(1)问5分,第二问7分.19.（1）当x＞0时，-x＜0∴f(-x)=（-x）2+4(-x)+3=x2-4x+3∴f(x)为R上的偶函数∴f(-x)=f(x)=x2-4x+3∴--------------4分（2）的图像略,--------------6分f(x)单调增区间为和.---------------8分(3)有图知或,从而知方程有10个解.---------------12分20.(1)根据题意可设，。---------2分则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0).------------4分(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18-------------------------5分令＝t，t∈[0,3]，----------------6分则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.-----------------8分所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，-------------------------9分此时x＝16,18－x＝2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.--------------------------12分21.解：（1）由题意知,解得9\n此时符合,故---------------4分（2）函数在（-1，1）为单调函数．证明如下：任取，则，即故在（-1，1）上为增函数---------------8分（3）由（1）、（2）可得则解得：所以，原不等式的解集为--------------12分22.解：（1）∵幂函数f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上单调递增，可得（2﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜2，又k2+k﹣1=1，可得k=﹣2或1，即有k=1，幂函数f（x）=x2；---------------2分（2）由（1）可知：g（x）=﹣mx2+（2m﹣1）x+1，当m=0时，g（x）=1﹣x在[0，1]递减，可得g（0）取得最大值，且为1，不成立；当m＜0时，g（x）图象开口向上，最大值在g（0）或g（1）处取得，而g（0）=1，则g（1）=5，即为m=5，不成立；9\n当m＞0，即﹣m＜0，g（x）=﹣m（x﹣）2+．①当≤0，m＞0时，解得0＜m≤，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；②当≥1，m＞0时，解得m不存在；③当0＜＜1，m＞0时，解得m＞，则g（x）在x=处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，而g（0）=1不符合要求；由g（1）=5，即m=5，满足m的范围．综上可知：满足条件的m存在且m=5．---------------7分(3)由(1)知令,显然在递增,.--------------9分故原问题转化到不等式对任意的恒成立,即不等式对任意的恒成立.令由双勾函数知在递减,递增,故---------------12分9
