江西省景德镇市第一中学2022-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2=1}．N为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A.1∈MB.M={−1,1}C.⌀⊆MD.M⊆N2.若指数函数y=（1-a）x在R上递增，则实数a的取值范围是（ ）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(−∞,0)D.R3.已知x12-x−12=5，则x+1x的值为（ ）A.7B.35C.±35D.274.有以下四个结论（a＞0且a≠1）：（1）loga1=0（2）lg（1g10）=0（3）e1n2=2（4）12=log222．其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45.下列函数中值域是（1，+∞）的是（ ）A.y=1x(x>1)B.y=x2+1(x∈R)C.y=2x+1(x∈R)D.y=log3x(x>1)6.下列函数中，在区间（-1，+∞）上递减的是（ ）A.y=−x2−2xB.y=1xC.y=x12D.y=log2x7.设a=log3π，b=log29，c=log34，则（ ）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a8.已知f（x）=x+3，则f（x+1）的解析式及定义域为（ ）A.x2+3(x≥−1)B.x2+2x+4(x≥−1)C.x2+2x+4(x≥0)D.x+4(x≥0)9.已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，f：x→（x+1，x2+1），则以下选项中哪个可能是像（ ）A.1B.2C.(2,3)D.(3,5)10.函数f（x）=ln(x+2),x>1x2,x≤1的递增区间是（ ）A.[0,1]和(1,+∞)B.(0,+∞)C.(−2,+∞)D.(2,+∞)11.已知函数f（x）=x|x-2|，直线y=a与函数f（x）的图象有三个交点A、B、C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）A.(3,4+2)B.(4,3+2)C.(3,4+2]D.R12.已知函数f（x）=x−23+0.5x4+x2，则不等式f（log3x）+f（log13x）≥52的解集是（ ）A.[13,1)∪(1,3]B.[13,3]C.[3,+∞)D.(0,13]∪[3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知∅⊊{x|x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是______．14.函数y=x−3+1(x+4)(x−5)的定义域是______．11/11\n1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x−12，则f（-4）=______．2.对幂函数f（x）=x−32有以下结论（1）f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}；（2）f（x）的值域是（0，+∞）；（3）f（x）的图象只在第一象限；（4）f（x）在（0，+∞）上递减；（5）f（x）是奇函数．则所有正确结论的序号是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）3.计算（1）0.25×（-12）-4-4÷20-（116）−12（2）2log32-log3329+log38-（log43+log83）（log32+log92）4.全集U=R，集合A={x|1＜x≤4}，B={x|6-a＜x＜2a-1}（1）若a=4，分别求A∪B和B∩∁UA；（2）若A⊆B，求a的取值范围．5.已知f（x）=x2+ax+b，满足f（-1）=f（5），且f（x）=0的两实根之积为4．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=2mx-f（x），在x∈[0，2]上的最大值（用m表示）．6.已知函数f（x）=1-2ex+1（1）判断f（x）的奇偶性（无须证明）；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）解不等式f（2m+1）+f（2m-3）＜0．11/11\n1.已知函数f（x）=loga（-x2+ax-9）（a＞0，a≠1）．（1）当a=10时，求f（x）的值域和单调减区间；（2）若f（x）存在单调递增区间，求a的取值范围．2.已知f（log2x）=x-1x．（1）求f（x）；（2）若8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf（x）对x∈[1，∞）恒成立，求k的取值范围．11/11\n答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合M={x|x2=1}={-1，1}．N为自然数集，在A中，1∈M，正确；在B中，M={-1，1}，正确；在C中，∅⊆M，正确；在D中，M不是N的子集，故D错误．故选：D．集合M={x|x2=1}={-1，1}．N为自然数集，由此能求出结果．本题考查命题真假的判元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：若指数函数y=（1-a）x在R上递增，则1-a＞1，即a＜0，实数a的取值范围为（-∞，0），故选：C．由题意利用指数函数的单调性，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由x-x=，两边平方得：x-2+x-1=5，则．故选：A．直接把已知等式两边平方求解．本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．4.【答案】C【解析】解：a＞0且a≠1．（1）loga1=0，正确；（2）lg（1g10）=lg1=0，正确；（3）e1n2=2，正确；（4）log2==-，因此不正确．其中正确结论的个数是3．故选：C．利用对数与指数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】11/11\n解：A．x＞1时，y=∈（0，1），不满足条件；B．y=x2+1≥1，其值域是[1，+∞），不满足条件；C．y=2x+1＞1，值域是（1，+∞），满足条件．D．x＞1，y=log3x＞0，其值域是（0，+∞），不满足条件．故选：C．利用函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数的单调性、值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由二次函数的性质可知，y=-x2-2x在（-1，+∞）单调递减，故A正确；由反比例函数的性质可知，y=在（-1，0），（0，+∞）单调递减，但是在（-1，+∞）不单调，故B错误；根据幂函数的性质可知，函数y=的定义域[0，+∞），故C错误；根据对数函数的性质可知，函数y=log2x的定义域[0，+∞），故D错误；故选：A．结合二次函数，幂函数即对数函数的性质及单调性进行判断即可求解本题主要考查了基本初等函数，二次函数，幂函数，对数函数的单调性的简单应用，属于基础试题7.【答案】D【解析】解：∵a=log3π＜c=log34＜log39=2，b=log29＞log28=3，∴b＞c＞a．故选：D．利用对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】C【解析】解：f（）=x+3，令=t≥0，解得x=t2．∴f（t）=t2+3．∴f（t+1）=（t+1）2+3=t2+2t+4．把t换成x，可得：f（x+1）=x2+2x+4，定义域为[0，+∞）．故选：C．11/11\nf（）=x+3，令=t≥0，解得x=t2．可得f（t）=t2+3．进而得出结论．本题考查了换元法求函数解析式及其函数的定义域与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，f：A→B是A到B的映射的像应该为关于x，y的有序数对，故A，B错．若像为（2，3），则x=1，y应为2，故C错，若像为（3，5），则x=2，y=5．故选：D．像应该为关于x，y的有序数对，排除A，B，在结合f：x→（x+1，x2+1），可选出正确答案．本题考查了映射的概念，属基础题．10.【答案】A【解析】解：当x≤1时，y=x2，是二次函数，增区间为：[0，1]．x＞1时，y=ln（x+2）是增函数，所以函数的增区间为：（1，+∞）．综上函数f（x）=的递增区间是：[0，1]和（1，+∞）．故选：A．利用分段函数的单调性，列出不等式组求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：f（x）=x|x-2|=，设函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点对应横坐标分别为x1、x2、x3，则x1+x2=2，2，所以4＜x1+x2+x3，故选：B．由分段函数的图象的作法得：f（x）=x|x-2|=，作出y=f（x）的11/11\n图象，由函数图象的性质得：设函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点对应横坐标分别为x1、x2、x3，则x1+x2=2，2，所以4＜x1+x2+x3，得解本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属中档题12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=x+0.5，∴f（-x）=f（x）即函数f（x）为偶函数，x＞0时，f（x）单调递减∵f（1）=，∵f（log3x）+f（logx）≥的解∴f（log3x）+f（-log3x）≥，∴f（log3x）≥=f（1），且x≠1∴|log3x|≤1，解不等式可得且x≠1故选：A．由已知可知，函数f（x）为偶函数，且x＞0时，f（x）单调递减，f（1）=，从而即可求本题主要考查了偶函数对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于知识的综合应用．13.【答案】a≥-14【解析】解：由题意可得x2-x-a=0有实根，故△=（-1）2-4×1×（-a）≥0解得a≥-．故答案为：a≥-．由题意可得x2-x-a=0有实根，由△≥0，解之可得．本题考查集合的包含关系的确定，涉及一元二次方程根的个数的判断，属基础题．14.【答案】{x|x≥3，且x≠5}【解析】解：要使原函数有意义，则：；∴x≥3且x≠5；11/11\n∴原函数的定义域为{x|x≥3，且x≠5}．故答案为：{x|x≥3，且x≠5}．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法．15.【答案】-12【解析】解：根据题意，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x，则f（4）==，又由函数f（x）为奇函数，则f（-4）=-f（4）=-；故答案为：-根据题意，由函数的解析式可得f（4）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．16.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：对幂函数f（x）=x=，以下结论（1）f（x）的定义域是{x|x＞0，x∈R}，因此不正确；（2）f（x）的值域是（0，+∞），正确；（3）f（x）的图象只在第一象限，正确；（4）f（x）在（0，+∞）上递减，正确；（5）f（x）是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．利用幂函数的性质即可判断出结论．本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）原式=14×24-4-2−4×(−12)=4-4-22=-4．（2）原式=log322×8329-(log232+log233)(log32+log322)=log39-log23×(12+13)×log32×(1+12)=2-56×32=34．【解析】（1）利用指数原式性质即可得出．（2）利用对数原式性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）若a=4，则B={x|2＜x＜7}，则A∪B={x|1＜x＜7}，∁UA={x|x＞4或x≤1}，11/11\nB∩∁UA={x|4＜x＜7}．（2）若A⊆B，则6−a≤12a−1>4得a＞52a≥5，即a≥5，即实数a的取值范围是a≥5．【解析】（1）结合集合并集和补集的定义进行计算即可．（2）根据集合关系建立不等式组进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，集合交集补集并集的定义是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x2+ax+b，满足f（-1）=f（5），则其对称轴x=-a2=2，则a=-4，又由f（x）=0的两实根之积为4，即x2+ax+b=0的两根之积为4，b=4，则f（x）=x2-4x+4，（2）由（1）的结论，f（x）=x2-4x+4，则g（x）=2mx-f（x）=-x2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m2+4m，其对称轴为x=m+2，分3种情况：当m+2＜0，即m＜-2时，g（x）在[0，2]上为减函数，则g（x）max=g（0）=-4，当0≤m+2≤2，即-2≤m≤0时，则g（x）max=g（m+2）=m2+4m，当m+2＞2，即m＞0时，g（x）在[0，2]上为增函数，则g（x）max=g（2）=4m，故g（x）max=−4，m＜−2m2+4m，−2≤m≤04m，m＞0．【解析】（1）根据题意，由f（-1）=f（5）分析可得该二次函数的对称轴xx=-=2，解可得a的值，又由根与系数的关系分析可得b的值，将其代入二次函数的解析式即可得答案；（2）根据题意，分析可得g（x）=2mx-f（x）=-x2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m2+4m，结合二次函数的性质按m的取值范围分3种情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案．本题考查二次函数的解析式以及最值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．20.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=1-2ex+1，有f（-x）=1-2e−x+1=1-2ex1+ex=2ex+1-1=-f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）根据题意，f（x）在R上为增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（1-2ex1+1）-（1-2ex2+1）=2(ex1−ex2)(ex1+1)(ex2+1)，又由x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，11/11\n故函数f（x）在R上为增函数；（3）根据题意，f（2m+1）+f（2m-3）＜0⇒f（2m+1）＜-f（2m-3）⇒f（2m+1）＜f（3-2m）⇒2m+1＜3-2m，解可得m＜12，即m的取值范围为（-∞，12）．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，设x1＜x2，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，原不等式等价于2m+1＜3-2m，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，（3）中注意利用奇偶性与单调性分析，属于基础题．21.【答案】解：（1）当a=10时，f（x）=log10（-x2+10x-9）=log10[-（x-5）2+16]，设t=-x2+10x-9=-（x-5）2+16，由-x2+10x-9＞0，得x2-10x+9＜0，得1＜x＜9，即函数的定义域为（1，9），此时t=-（x-5）2+16∈（0，16]，则y=log10t≤log1016，即函数的值域为（-∞，log1016]，要求f（x）的单调减区间，等价为求t=-（x-5）2+16的单调递减区间，∵t=-（x-5）2+16的单调递减区间为[5，9），∴f（x）的单调递减区间为[5，9）．（2）若f（x）存在单调递增区间，则当a＞1，则函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式△=a2-36＞0得a＞6或a＜-6舍，当0＜a＜1，则函数t=-x2+ax-9存在单调递减区间即可，则判别式△=a2-36＞0得a＞6或a＜-6，此时a不成立，综上实数a的取值范围是a＞6．【解析】（1）当a=10时，利用换元法结合对数函数，一元二次函数的性质以及复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．（2）结合复合函数单调性之间的关系，讨论a＞1或0＜a＜1转化为一元二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，结合对数函数以及一元二次函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．22.【答案】解：（1）设log2x=t，t∈R可得x=2t∴f（t）=2t−12t，即f（x）=2x-2-x；（2）由8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf（x）对x∈[1，∞）恒成立，即8x-8-x-4x+1-41-x+8≥k（2x-2-x）对x∈[1，∞）恒成立，可得（2x）3-（2-x）3-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）则（2x-2-x）[（2x）2+（2-x）2+1]-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）∴（11/11\n2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4[（2x-2-x）2+2]+8≥k（2x-2-x）∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4（2x-2-x）2≥k（2x-2-x）设2x-2-x=t，可得t（t2+3）-4t2≥kt，（t∈R）∵x∈[1，∞）恒成立，∴t≥32则t2+3-4t≥k在t∈[32，∞）恒成立，当t=2时，（t2+3-4t）min=-1∴k≤-1；故得k的取值范围是（-∞，-1]；【解析】（1）利用换元思想，即可求解f（x）．（2）利用换元法转化为二次函数问题求解即可本题主要考查了函数恒成立问题的求解，换元法和转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．11/11
