内蒙古鄂尔多斯市第一中学2022-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={-1，1}，N={x|12＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（ ）A.{−1,1}B.{−1}C.{0}D.{−1,0}2.已知函数f（x）=lg1−x1+x，若f（a）=b，则f（-a）等于（ ）A.bB.−bC.1bD.−1b3.函数y=-ex的图象（ ）A.与y=ex的图象关于y轴对称B.与y=ex的图象关于坐标原点对称C.与y=e−x的图象关于y轴对称D.与y=e−x的图象关于坐标原点对称4.为了得到函数 y=3×(13)x的图象，可以把函数y=(13)x的图象（ ）A.向左平移 3 个单位长度B.向右平移 3 个单位长度C.向左平移 1 个单位长度D.向右平移 1 个单位长度5.下列四个数中最大的是（ ）A.(ln2)2B.ln(ln2)C.ln2D.ln26.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（ ）A.(−∞,2)B.(2,+∞)C.(−∞,−2)∪(2,+∞)D.(−2,2)7.已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（ ）A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2⋅lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)8.设f（x）=1+x21−x2，f(2022)f(2022−1)等于（ ）A.1B.−1C.35D.−359.设函数y=x3与y=（12）x-2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)10.设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x-2ax-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）A.(−∞,0)B.(0,+∞)C.(−∞,loga3)D.(loga3,+∞)11.函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A.B.C.D.9/10\n1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A.[2,+∞)B.[2,+∞)C.(0,2]D.[−2,−1]∪[2,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.已知函数f（x）=a-12x+1，若f（x）为奇函数，则a=______．3.当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______．4.设a=log123，b=(13)0.2，c=213，则a，b，c的大小关系是______．5.函数f(x)=x2−2x+2x2−5x+4的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）6.化简下列各式：（1）5x−23y12(−14x−1y12)(−56x13y−16)；（2）m+m−1+2m−12+m12．7.（1）计算（lg2）2+（lg20+2）lg5+lg4；（2）已知log53=a，log54=b，用表示log251448.（1）在直角三角形ABC中，A＜B＜C，b2=ac，求sinA的值；（2）已知a≠b，求证：a2+ab+b2＞0．9.已知f（x）的定义域为R，f（0）=1，对任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，都有f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：f（x）在R上为增函数．9/10\n1.（1）已知f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R，判断f（x）的奇偶性；（2）设a为实数，f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，求f（x）的最小值．2.已知f（x）=2x−12x+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）若g（x）=12[1-f（x）]，h（x）=2x•g（x）•g（x+1），x∈N+，求证：h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）＜13．9/10\n答案和解析1.【答案】B【解析】解：⇔2-1＜2x+1＜22⇔-1＜x+1＜2⇔-2＜x＜1，即N={-1，0}又M={-1，1}∴M∩N={-1}，故选：B．N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．2.【答案】B【解析】解：由＞0，得-1＜x＜1，f（-x）=lg=lg=lglg，∴f（x）是奇函数，∴f（-a）=-f（a）=-b．故选：B．判断函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值即可．本题考查函数的奇偶性的判断与应用，基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：因为点（x，y）和点（x，-y）关于x轴对称，所以y=-ex的图象与y=ex的图象关于x轴对称，故A和B错误；因为点（x，y）和点（-x，-y）关于原点对称，所以y=-ex的图象与y=e-x的图象关于坐标原点对称故选：D．函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题．函数y=-ex与y=exx相同时，y互为相反数，故可考虑点（x，y）和点（x，-y）的对称问题；同理y=-ex的图象与y=e-x的图象的对称问题考虑点（x，y）和点（-x，-y）的对称．本题考查函数图象的对称问题，函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题处理．4.【答案】D【解析】解：由于函数=，故把函数的图象向右平移1个单位长度，可得函数的图象，故选：D．9/10\n根据函数=，以及函数图象的变化规律，得出结论．本题主要函数图象的变化规律，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：0＜ln2＜1，∴0＜ln2＜ln2，ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，因此最大的是ln2．故选：D．由0＜ln2＜1，∴0＜ln2＜ln2，ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，即可得出．本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：当x∈（-∞，0]时f（x）＜0则x∈（-2，0]．又∵偶函数关于y轴对称．∴f（x）＜0的解集为（-2，2），故选：D．偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（-∞，0]内的范围，再根据对称性写出解集．本题考查了偶函数的图象特征．在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想．7.【答案】D【解析】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称这一特点，确认f（x）是原函数的反函数非常重要，是本题解决的突破口．8.【答案】B【解析】解：根据题意，f（x）=，则f（）===-f（x），则有=-1，即=-1；9/10\n故选：B．根据题意，由函数的解析式分析可得f（）===-f（x），即可得=-1，即=-1；即可得答案．本题考查函数值的计算，关键是分析f（x）与f（）的关系，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵y=（）x-2=22-x令g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选：B．根据y=x3与y=（）x-2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3-22-x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3-22-x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．10.【答案】C【解析】解：设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x-2ax-2），若f（x）＜0则loga（a2x-2ax-2）＜0，∴a2x-2ax-2＞1∴（ax-3）（ax+1）＞0∴ax-3＞0，∴x＜loga3，故选：C．结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，loga（a2x-2ax-2）＜0时，有a2x-2ax-2＞1，解可得答案．解题中要注意0＜a＜1时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误．11.【答案】D【解析】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选：D．化简g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的单调性，特殊点等方面去判断，属于中档题．9/10\n12.【答案】A【解析】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=-1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选：A．2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为f（a）≥f（b）形式是解题的关键．13.【答案】12【解析】解：函数．若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=．故答案为因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．本题考查了函数的奇偶性的应用，当x=0时有意义，利用f（0）=0进行求解来得方便．14.【答案】m≤-5【解析】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=-≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当-＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即解得即m≤-59/10\n故答案为m≤-5①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=-＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题．15.【答案】a＜b＜c【解析】解：由对数的性质可知＜0，指数的性质可知＞1；所以a＜b＜c故选A＜b＜c由对数的性质判断为负；b，c为正，利用1区分b、c的大小，综合可得答案．本题考查对数、指数函数的性质，比较大小，是基础题．16.【答案】22+1【解析】解：由已知，．又x∈[4，+∞）时，f（x）单调递增，⇒f（x）≥f（4）=+1；而x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；故最小值1求出定义域，函数是两个复合函数的和，可由复合函数的单调性判断出两个复合函数的单调性，再由单调性的判断规则增函数加增函数是增函数，减函数加减函数是减函数判断出f（x）的单调性．求最值即可．考查复合函数单调性的判断方法，依据单调性求函数的最值，训练学生对利用单调性求最值的方法．17.【答案】解：（1）5x−23y12(−14x−1y12)(−56x13y−16)=(5×4×65)x−23+1−13y12−12+16=24y16；（2）m+m−1+2m−12+m12=(m12+m−12)2m−12+m12=m12+m−12．【解析】直接利用有理指数幂的运算性质对（1）（2）化简求值．本题考查有理指数幂与根式，是基础的计算题．18.【答案】解：（1）原式=（lg2）2+lg2lg5+3lg5+lg4=lg2（lg2+lg5）+lg5+2（lg2+lg5）=lg2+lg5+2=3．（2）∵log53=a，log54=b，∴log25144=log512=log53+log54=a+b．【解析】（1）利用对数运算性质及其lg2+lg5=1即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9/10\n19.【答案】解：（1）∵直角三角形ABC中，A＜B＜C，可得：C=π2，∴sinC=1，又b2=ac，∴c2=a2+b2=a2+ac，∴利用正弦定理化简得：sin2C=sin2A+sinAsinC，即sin2A+sinA-1=0，∴解得：sinA=5−12，负值舍去．（2）证明：a2+ab+b2=a2+ab+14b2+34b2=（a+b2）2+34b2，由（a+b2）2≥0，34b2≥0，可得（a+b2）2+34b2≥0，当a=b=0时，取得等号．由于a≠b，可得：a2+ab+b2＞0．得证．【解析】（1）利用勾股定理列出关系式，将已知等式代入，利用正弦定理化简即可求出sinA的值．（2）运用配方法可得，a2+ab+b2=（a+）2+b2，再由非负数的思想，即可得证．此题考查了正弦定理的应用，考查了不等式的证明，注意运用配方的思想方法，以及非负数的概念，考查了方程思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）根据题意，对任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）•f（y），有f（x）=f（x2+x2）=f（x2）f（x2）≥0，又由f（0）=1，则f（x+（-x））=f（x）•f（-x）=1，则f（x）≠0，故f（x）＞0；（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）f（-x1）=f(x2)f(x1)＞1，则有f（x2）＞f（x1），即函数f（x）为增函数．【解析】（1）根据题意，分析可得f（x）=f（+）=f（）f（）≥0，又由f（0）=1变形可得f（x+（-x））=f（x）•f（-x）=1，分析可得f（x）≠0，综合即可得答案；（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0，结合题意分析可得f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）f（-x1）=＞1，进而分析可得结论．本题考查抽象函数的应用，关键是用特殊值法分析，属于基础题．21.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x2+|x-2|-1，则f（-x）=x2+|x+2|-1，则有f（x）≠f（-x）且f（x）≠f（x），9/10\n即函数f（x）为非奇非偶函数；（2）根据题意，f（x）=x2+|x-a|+1=x2−x+a+1,x<ax2+x−a+1,x≥a，分析可得：当a＜-12时，f（x）min=f（-12）=34-a，当-12≤a≤12时，f（x）min=f（a）=a2+1，当a＞12时，f（x）min=f（12）=34+a，综合可得：当a＜-12时，f（x）min=34-a，当-12≤a≤12时，f（x）min=a2+1，当a＞12时，f（x）min=34+a．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）≠f（-x）且f（x）≠f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，f（x）=x2+|x-a|+1=，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．22.【答案】解：（1）f（x）=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1-22x+1，函数的定义域为R，∵y=2x+1为增函数，则y=22x+1为减函数，则1-22x+1为增函数，此时f（x）为增函数．（2）g（x）=12[1-f（x）]=12[1-2x−12x+1]=12x+1，h（x）=2x•g（x）•g（x+1）=2x•12x+1•12x+1+1=12x+1-12x+1+1，则h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）=13-15+15-17+…+12x+1-12x+1+1=13-12x+1+1，∵12x+1+1＞0，∴13-12x+1+1＜13，即h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）＜13成立．【解析】（1）利用分子常数化，结合指数函数的单调性进行判断即可．（2）求出函数g（x），h（x）的解析式，利用裂项法进行求解证明即可．本题主要考查函数单调性的判断和不等式的证明，利用分子常数法以及裂项法是解决本题的关键．9/10
