广东省佛山市第一中学2022-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.{1，2}_____{∅，1，2，{1，2}}横线上可以填入的符号有（ ）A.只有∈B.只有⊆C.⊆与∈都可以D.⊆与∈都不可以2.若函数f（x）的定义域为[-1，4]，则函数f（2x-1）的定义域为（ ）A.[0,52]B.[−7,3]C.[−12,2]D.[−1,4]3.设a=log3π，b=log23，c=log32，则（ ）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4.设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，ba，b}，则b-a=（ ）A.1B.−1C.2D.−25.如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（ ）A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<d<cD.b<a<c<d6.设函数f（x）=4x3+x-8，用二分法求方程4x3+x-8=0的解，则其解在区间（ ）A.(1,1.5)B.(1.5,2)C.(2,2.5)D.(2.5,3)7.若函数f（x）=x−4mx2+4mx+3的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）A.(−∞,34)B.[0,34)C.(34,+∞)D.(−34,34)8.2022年至2022年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=aex+bC.f(x)=eax+bD.f(x)=alnx+b9.函数f（x）=xa满足f（2）=4，那么函数g（x）=|loga（x+1）|的图象大致为（ ）11/12\nA.B.C.D.1.若f（x）符合：对定义域内的任意的x1，x2，都有f（x1）•f（x2）=f（x1+x2），且当x＞1时，f（x）＜1，则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A.f(x)=2xB.f(x)=(12)xC.f(x)=log12xD.f(x)=log2x2.f（x）=2x-log12x，f（x）的零点为a，g（x）=（12）x-log2x，g（x）的零点为b，h（x）=（12）x-log12x，h（x）的零点为c，则a，b，c的大小关系是（ ）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c3.f（x）=|-x2+2|x||的图象与g（x）=kx+12的图象有6个交点，则k的取值范围是（ ）A.(−14,14)B.(−12,12)C.(−35,35)D.[−35,35]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.已知f（log2x）=x2，则f（x）=______．5.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-2x+3，则当x＜0时，函数f（x）的解析式是______．6.函数f（x）=xa2−2a−3（常数a∈Z）为偶函数且在（0，+∞）是减函数，则f（2）=______．7.已知f（x）=−(x−1)2+1，x＜2(12)x−3，x≥2，f（x）在区间[m，m+1]上的最大值记为g（m），m∈R，则g（m）的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）8.设a=2×100023+6423+lg4+2lg5．（1）化简上式，求a的值；（2）设集合A={x|x＞a}，全集为R，B=∁RA∩N，求集合B中的元素个数．11/12\n1.已知函数f（x）=log21+x1−x．（1）判断f（x）奇偶性并证明你的结论；（2）解方程f（x）＜-1．2.幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn．（1）使用五点作图法，画出f（x）=x23的图象，并注明定义域；（2）求函数h（x）=x43-2x23-3的值域．3.已知函数f（x）=x+ax2+1为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一段时间t后的温度是T，则有T-Tα=（T0-Tα）•（12）th，其中Tα表示环境温度，h称为半衰期且h=10．现有一杯用89℃热水冲的速溶咖啡，放置在25℃的房间中20分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到35℃，共需要多长时间？（lg2≈0.301，结果精确到0.1）11/12\n1.设二次函数f（x）=x2+bx+c，b，c∈R．（1）若f（x）满足：对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），求c的取值范围；（2）若f（x）在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+（1+b）c的取值范围．11/12\n答案和解析1.【答案】C【解析】解：{1，2}⊆{∅，1，2，{1，2}}，或{1，2}∈{∅，1，2，{1，2}}．故选：C．利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵f（x）的定义域为[-1，4]；∴f（2x-1）满足-1≤2x-1≤4；解得0≤x≤；∴f（2x-1）的定义域为．故选：A．根据f（x）的定义域即可得出f（2x-1）需满足：-1≤2x-1≤4，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．3.【答案】A【解析】解：∵∵，故选：A．利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．4.【答案】C【解析】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=-b，∴，b=1；故a=-1，b=1，则b-a=2，故选：C．根据题意，集合，注意到后面集合中有元素011/12\n，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．5.【答案】C【解析】解：作辅助直线x=1，当x=1时，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c故选：C．要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵f（1）=-3＜0，f（1.5）=7＞0，∴根据零点存在定理，可得方程的根落在区间（1，1.5）内．故选：A．根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）•f（b）＜0即可．本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：依题意，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①当m=0时，得3≠0，故m=0适合②当m≠0时，△=16m2-12m＜0，得0＜m＜，综上可知0≤m故选：B．由题意知，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①分m=0；②m≠0，△＜0，求出m的范围即可．考查学生理解函数恒成立时所取的条件，以及会求函数的定义域，要注意分类讨论思想的应用．8.【答案】D【解析】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．11/12\n对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．故选：D．由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当-1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选：C．利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当-1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．10.【答案】B【解析】解：对定义域内的任意的x1，x2，都有f（x1）•f（x2）=f（x1+x2），说明函数是指数函数，排除选项C，D；又因为：x＞1时，f（x）＜1，所以排除选项A；故选：B．利用好函数的定义，判断选项的正误即可．本题考查好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】 解：在坐标系中画出：y=2x，y=，y=log2x，y=的图象．如图：∵f（x）=2x-logx，的函数的零点a在（0，1）且靠近0，g（x）=（）x-log2x函数的零点b在（1，2）之间，11/12\nh（x）=（）x-logx，函数的零点c在（0，1）之间且靠近1，∴a、b、c的大小关系为a＜c＜b．故选：B．根据三个函数等于0，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系．本题考查函数的零点，本题解题的关键是把函数的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，注意基本初等函数的图形的应用．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|-x2+2|x||是偶函数，g（x）=kx+恒过（0，），在平面直角坐标系值画出函数的图象，如图：可知直线经过（2，0）与（-2，0）时，两个函数的图象有5个交点，所以，k的取值范围是：（-，）．故选：A．画出两个函数的图象，利用数形结合转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】4x【解析】解：f（log2x）=x2，令log2x=t∈R，解得x=2t则f（t）=（2t）2=22t=4t．把t换成x，可得f（x）=4x．故答案为：4x．f（log2x）=x2，令log2x=t∈R，解得x=2t，代入化简即可得出．本题考查了换元法求函数解析式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】f（x）=-x2-2x-3【解析】解：设x＜0，则-x＞0，又因为函数f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-2（-x）+3]=-x2-2x-3．故答案为f（x）=-x2-2x-3．设x＜0，则-x＞0，然后将-x代入x＞0时的解析式，结合奇函数的性质易求得此时函数的解析式．本题考查了函数的奇偶性在求解析式时的作用，主要是体现了转化思想的应用．11/12\n15.【答案】116【解析】解：∵函数f（x）=（常数a∈Z）在（0，+∞）是减函数，∴a2-2a-3＜0，解得-1＜a＜3，∵a∈Z，∴a=0，1，2，若a=0，则f（x）=x-3，为奇函数，不满足条件．若a=1，则f（x）=x-4，为偶函数，满足条件．若a=2，则f（x）=x-3，为奇函数，不满足条件．故a=1，f（x）=x-4=，则f（2）=，故答案为：根据幂函数的定义求出a的值，即可．本题主要考查函数值的计算，根据幂函数的定义和性质求出a是解决本题的关键．16.【答案】2【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：当x＜2时，f（x）≤1，当x≥2时，0＜f（x）≤2，即函数f（x）的最大值为2，∵f（x）在区间[m，m+1]上的最大值记为g（m），∴当m在变换中，g（m）的最大值即为f（x）的最大值2，故答案为：2结合分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数最值的应用，结合分段函数的解析式作出条件，利用数形结合是解决本题的关键．本题看似难度很大，其实比较简单．17.【答案】解：（1）原式=2×100023+6423+lg4+2lg5=2×100+16+lg4+lg25=216+lg100=218（2）A={x|x＞218}，∁RA={x|x≤218}，B={x|0≤x≤218，x∈N}，所以B中元素个数为219．【解析】（1）根据根式和对数化简求出a的值（2）求出集合A，B结合元素个数进行判断即可11/12\n本题主要考查根式与指数幂的化简，以及集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键18.【答案】解：（1）根据题意，f（x）为奇函数；证明：1+x1−x＞0⇒−1＜x＜1，所以f（x）定义为（-1，1），关于原点对称；任取x∈（-1，1），则f(−x)+f(x)=log21−x1+x+log21+x1−x=log2(1−x1+x⋅1+x1−x)=log21=0．则有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；（2）由（1）知-1＜x＜1，f（x）＜-1⇒log2(1+x)(1−x)＜−1，即1+x1−x＜2−1=12，1+x1−x−12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)＜0，即3x+1x−1＞0，∴x＜−13或x＞1，又由-1＜x＜1，则有-1＜x＜-13，综上，不等式解集为(−1，−13)【解析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，再分析f（-x）与f（x）的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；（2）根据题意，f（x）＜-1⇒，求出x的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域．19.【答案】解：（1）f（x）=x23=3x2 的图象，如图：函数的定义域为R．（2）设x23=t≥0，则h（x）=m（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4≥-4，当t=1∈（0，+∞）时取等号，故h（x）值域为[-4，+∞）．【解析】（1）由题意利用幂函数的图象和性质，画出f（x）=x的图象，并注明定义域．（2）换元，利用二次函数的性质，求得函数h（x）的值域．本题主要考查幂函数的图象和性质，二次函数的性质，属于基础题．11/12\n20.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x+ax2+1为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，即（−x+ax2+1）+（x+ax2+1）=0，解可得a=0；（2）由（1）的结论，f（x）=xx2+1，在（-1，1）上为增函数；证明：任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)x1x22+x1−x2x12−x2(x12+1)(x22+1)=x1x2(x2−x1)−(x2−x1)(x12+1)(x22+1)=(x1x2−1)(x2−x1)(x12+1)(x22+1)，又由x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则x1x2−1＜0，x2−x1＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，则有f（x1）-f（x2）＜0，所以函数f（x） 在（-1，1）上单调递增．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（-x）+f（x）=0，即（）+（）=0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，由作差法分析f（x1）-f（x2）的符号，由函数单调性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出a的值，属于基础题．21.【答案】解：由条件知，T0=89，Tα=25，t=20．代入T-Tα=（T0-Tα）•（12）th，得T−25=(89−25)⋅(12)2022，解得T=41℃；如果要降温到35℃，则35−25=(89−25)⋅(12)t10．解得t≈26.8．答：此时咖啡的温度41℃，要降温到35℃，共需要约26.8分钟．【解析】直接把题中公差的相应条件代入函数解析式求解．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了函数值的求法，是中档题．22.【答案】解：（1）∵f（-x）+f（x）=（-x）2+b（-x）+c+x2+bx+c=2（x2+c）≠0恒成立，……………（3分）所以，方程x2+c=0无实数解……………………（5分）所以，c取值范围为（0，+∞） ………………（6分）（2）设 f（x）=0 的两根为 x1，x2，且 0＜x1＜x2＜1，则 f（x）=（x-x1）（x-x2），………………（7分）所以c2+（1+b）c=c（1+b+c）=f（0）f（1）……………（8分）=（0-x1）（0-x2）（1-x1）（1-x2）=x1x2（1-x1）（1-x2）(−x12+x1)(−x22+x2)………………（9分）[−(x1−12)2+14][−(x2−12)2+14] ≤116………………（11分）又因为 x1，x2 不能同时取到 12，所以 c2+（1+b）11/12\nc取值范围为(0，116)．……………（12分）【解析】（1）由f（-x）+f（x）≠0恒成立可知方程x2+c=0，结合二次方程根的存在条件可求（2）由题意可设 f（x）=（x-x1）（x-x2），而c2+（1+b）c=c（1+b+c）=f（0）f（1），结合方程的根与系数关系及完全平方数的关系可求本题主要考查了二次函数的性质及方程的根与系数关系的简单应用，属于中档试题11/12
