2022届高二上学期第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线l与直线3x+y+8=0垂直，则直线l的斜率为（ ）A．﹣3B．﹣C．3D．2.若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b33.等差数列中，则（）A．45B．42C.21D．844.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与C1D所成的角为（ ）A．B．C．D．5.若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）A．0B．1C．D．26.《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（网格纸上正方形的边长为1），则该“堑堵”的表面积为（ ）A．8B．16+8C．16+16D．24+167.已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（ ）8\nA．B．﹣C．或﹣D．8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则的值为（ ）A．2B．C．4D．59.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=，B=，b=1，则a等于（ ）A．B．1C．D．210.设Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=2Sn﹣1+n﹣2（n≥2），则a2022等于（ ）A．22022﹣1B．22022+1C．22022﹣1D．22022+111.设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值是（ ）A．B．2C．3D．12.在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13在中，若，则．14.已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则+的最小值为 ．15.过点P（3，1）作直线l将圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线l的方程是 ．16.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；8\n③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，17题10分，18~22题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．18.已知圆C的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（1）求圆C的方程；（2）过圆内一点P（2，﹣3）的直线l与圆交于A、B两点，求弦长AB的最小值．19.已知△ABC的顶点A（2，4），∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0．（1）求AC所在的直线方程；（2）求顶点C的坐标．8\n20.如图，四边形是平行四边形，点，，分别为线段，，的中点．（）证明平面．（）证明平面平面．（）在线段上找一点，使得平面，并说明理由．21.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．22.已知等比数列{an}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{bn}满足bn=3﹣2log2an．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=，求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范围．8\n试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.B5.D6.D7.A8.C9.A10.A11.B12.B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.14.．15.16.234三、解答题：本大题共6小题，17题10分，18~22题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（1）∵等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21，∴，解得a1=1，d=1，∴an=1+（n﹣1）×1=n．（2）bn=3=3n，∴数列{bn}的前n项和：Tn=3+32+33+…+3n==．18.【解答】解：（1）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心为C（1，﹣4），∴r==2∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8；（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小CP=．弦长AB的最小值为2．8\n19.【解答】解：（1）∵AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0，，则AC所在直线的斜率为，∵A（2，4），∴AC所在直线方程为y﹣4=，即3x﹣2y+2=0；（2）∵∠ABC的角平分线所在的直线方程为y=0．联立，解得B（﹣6，0）．∴AB所在直线方程为，即x﹣2y+6=0．设C（m，n），则C关于y=0的对称点为（m，﹣n），则，解得m=﹣2，n=﹣2．∴顶点C的坐标为（﹣2，﹣2）．20.（）证明：∵、分别是，中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（）证明：∵、分别是、中点，∴，∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，点，，平面，∴平面平面．（）设，与分别交于，两点，易知，分别是，中点，∴，∵平面，平面，∴平面，即点为所找的点．8\n21.解：（1）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（2）∵c=2，C=60°，∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时等号成立，∴S△ABC=absinC≤=，当且仅当a=b时等号成立，即△ABC的面积的最大值为．22.【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），∴a2=4a2（q﹣q2），化为：4q2﹣4q+1=0，解得q=．∴an==22﹣n．∴bn=3﹣2log2an=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1．（2）cn===．∴数列{cn}的前n项和Sn=[2+3•22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]，∴2Sn=[22+3•23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1]，∴﹣Sn==，可得：Sn=．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n•（2n﹣1），令dn=22﹣2n•（2n﹣1），则dn+1﹣dn=﹣==＜0，因此dn+1＜dn，即数列{dn}单调递减，因此n=1时dn取得最大值d1=1．∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0．8\n∴k＜2，∵2≥2=2，当且仅当λ=时取等号．∴．即k的取值范围是．8
