盐城市伍佑中学2022-2022学年秋学期高二期中考试数学试题考试时间：120分钟分值：160分一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“.”的否定是▲．2．“”是“”的▲条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）3．已知向量，，若，则▲．4．若实数满足，则的最大值为▲．5．已知，，则▲． 6．在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数▲．7．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为▲．8．已知椭圆上一点到左焦点的距离是2，则到右准线的距离为▲．9．已知正数满足，则的最小值为▲．10．设双曲线的左、右焦点分别为，过垂直于实轴的直线交双曲线右支不同两点M、N，若为正三角形，则该双曲线的离心率为▲．11．若椭圆的离心率为，则▲．12．已知，，满足，则的最小值为▲．13．使得恒成立，则实数的取值范围为▲．-10-\n14．已知椭圆与直线相交于两点，若，且以AB为直径的圆经过坐标原点，则椭圆离心率的取值范围为▲．二．解答题（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题14分）设命题：关于的方程有实数根；命题：关于的不等式的解集是．若“或”为真，“且”为假，求的取值范围．16．（本题14分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．-10-\n17．（本题15分）已知双曲线的中心在原点，离心率为，一个焦点（1）求双曲线标准方程；（2）抛物线的焦点是双曲线的右顶点，求抛物线的标准方程；（3）在（2）的条件下，为抛物线的焦点，过的直线与抛物线相交于两点．求证：是一个定值．-10-\n18．（本题15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离（）的关系为：，若距离为时，宿舍建造费用为万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造宿舍与修路费用之和．（1）求的表达式，并写出其定义域；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．19．（本题16分）已知函数，若不等式的解集为．（1）求，的值；（2）解关于的不等式；（3）函数，若使得，求实数的取值范围．-10-\n20．（本题16分）已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．-10-\n盐城市伍佑中学2022-2022学年秋学期高二期中考试数学试题考试时间：120分钟分值：160分命题人：一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．2．必要不充分3．4．55．6 6．27．8．9．910．11．或12．13．14．二．解答题（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题14分）解：真：或，………………3分真：………………6分因为“或”为真，“且”为假，则一真一假。………………8分若真假或，………………10分若真假………………12分综上：的范围是………………14分16．（本题14分）【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），………………4分∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，-10-\n∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．………………7分（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，………………10分设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，………………12分∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．………………14分17．（本题15分）解(1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0) 则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝∴所求的双曲线方程为x2－＝1.………………4分(2)双曲线右顶点是，则抛物线的方程为y2＝4x………………7分(3)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0，………………9分∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，………………10分＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴·是一个定值．………………15分-10-\n（直线设成形式，与抛物线联立，算出答案，也可给分，但是不讨论斜率不存在时候扣2分）18．（本题15分）解：⑴根据题意，距离为1km时费用为100万元，即当x=1时，p＝100……………………………………3分，………………………7分⑵………………………11分当且仅当即时取“＝”………………………14分答：宿舍距离工厂5km时，总费用最小为95万元……………………15分19．（本题16分）解：（1）不等式的解集为，1和是一元二次方程的根则有，解得………………5分（2）由（1）知，即为………………7分当即时，不等式的解集为；………………8分当即时，不等式的解集为；………………9分当即时，不等式的解集为.………………11分（3）若使得………………13分-10-\n在上单调递增，………………14分，………………15分，则………………16分20．（本题16分）解：（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，得a=4，∴椭圆C的方程为．………………3分（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，………………5分由△＞0，解得﹣4＜t＜4，………………7分由韦达定理得x1+x2=﹣t，．∴，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当t=0，．………………10分②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，∴，………………12分同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），-10-\n可得∴，，………………14分，所以直线AB的斜率为定值．………………16分-10-
