盐城市伍佑中学2022-2022学年秋学期高二期中考试数学（文）试题考试时间：120分钟总分：160分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1.“,”的否定为▲．2．抛物线错误！未找到引用源。的准线方程是▲．3．“”是“”成立的▲条件．4．以为渐近线，且经过点的双曲线标准方程是▲．5．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是▲．6．已知，，则＝▲．7．已知正数满足，则的最小值为▲．8．已知双曲线的离心率为，则实数的值为▲．9．焦点在轴上的椭圆的焦距是，则实数的值是▲．10．已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为▲．11.若命题是真命题，则实数的取值范围是▲．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足，若点是椭圆上的动点，则的最大值为▲．13.椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点，当为钝角时，则点的横坐标的取值范围为▲．-8-\n14.已知，则的最小值是▲．二．本大题共6小题，共计90，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16.（本小题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；17．（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为的中点为.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作，垂足为，求点的坐标．-8-\n18.（本小题满分16分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．19．（本小题满分16分）已知为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程.-8-\n20．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的值；（第20题）(3)设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.-8-\n参考答案：1.2.3.充分不必要4.5.76.37.98.49.810.11.12.13.14.415.解 (1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0，当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是(1，3)，由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是(2，3]．因p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，3)．(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且p⇒q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B为A的真子集，又B＝(2，3]，有a＞0得，A＝(a，3a)，有解得1＜a≤2；综上所述，实数a的取值范围是(1，2]．16.解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：设＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0.17.解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，-8-\n于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又因为F(1,0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝－.又FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②联立①②，解得x＝，y＝，所以N的坐标为.18.解 (1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．(或y＝＋x，x∈[50,100])．(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时，等号成立．故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．19.解：(Ⅰ)由条件知，且，由，解得，，所以椭圆方程为.（Ⅱ）设点A，B，-8-\n当轴时，A，B，所以,设直线的方程为，代入椭圆方程得．所以由，得..代入得，解得.所以直线的方程为.即或.20.（1）设椭圆方程为，由题意知：解之得：，所以椭圆方程为：（2）若，由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，由，得，解得（舍去），故．-8-\n（3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得 ，因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，又在直线上，所以，同理，点坐标为，，所以，即存在，使得．-8-
