2022届高三下学期期初开学联考数学试卷注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，则▲．结束开始P←0n←1P←P＋n←n＋1输出nYN（第6题）P＜0.702．已知，那么复数▲.3．从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为▲．4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲．5．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是▲．（第5题）-9-\nABCPDEF第8题图6.如图所示的流程图，最后输出的n的值是▲．7.已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是▲．8.如图，正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥P–DEF的体积是▲．9.在中，，点是内心，且，则▲．第11题图10.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是▲．11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为▲.12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是▲.13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是▲．14.设实数a，x，y，满足则xy的取值范围是▲．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知C＝，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD-9-\n的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．（第15题）16.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．17.（本小题满分14分）如图，2022年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．-9-\n18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19.(本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．高三数学参考答案-9-\n一、填空题1．2．3．4．5．406．47．π8．9．10．11.12．13．（21,24）14．[－，＋]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，（第15题）即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝．…………………2分又因为C＝，得A＋B＝，与A＋B＝矛盾，所以A＝B，因此A＝．…………………4分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)＝2sin[π－(α＋)]＝2sin(α＋)，α∈(0，).………………6分所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin(α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).………………10分因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，即2sin(α＋)∈(，2]．于是，当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值2．……………14分16．（1）证明：连接，交于点,连接.∵、分别是、的中点，-9-\n∴∥．………3分∵平面，平面，∴∥平面．………6分（2）为的中点．………7分证明如下：∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．∵为的中点，是的中点，∴，………9分∴，．又∵，，∴．………11分∵是正三角形，是的中点，∴．∵平面平面,平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．………13分∵，∴平面．∵平面，∴．………14分18.（本小题满分16分）-9-\n解（1）由题设可知a＝2，e＝＝，所以c＝，故b＝1．因此，a＝2，b＝1．…………………2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为＋y2＝1．设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＝，x2＝，从而有，x1＋x2＝，x1·x2＝，而y1＝x1－m，y2＝x2－m，因此，∣AB|＝＝＝＝·，点O到直线l的距离d＝，所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，因此，S2△OAB＝(5－m2)×m2≤·()2＝1．…………………6分又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5－m2＝m2，即m2＝，m＝±时，S△OAB取得最大值1．…………………8分(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，x1＋x2＝，x1·x2＝．…………………10分所以，PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2-9-\n＝（*）.…………………14分因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．所以，k的值为±.…………………16分19.解:（1）由x+1＞0得x＞–1∴f(x)的定义域为(-1，+∞),对x∈(-1，+∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/(1)=0,解得b=-4.经检验，列表（略），合题意；（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f/(x)≥0或f/(x)≤0在(-1，+∞)上恒成立.若f/(x)≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在(-1，+∞)上恒成立,即b≥-2x2-2x=恒成立,由此得b≥;若f/(x)≤0,∵x+1＞0,∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，因-(2x2+2x)在(-1，+∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立.综上所述，实数b的取值范围是.（3）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)，令函数h(x)=f(x)–x3=x2–ln(x+1)–x3，则h/(x)=-3x2+2x-，∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，∴当时，恒有h(x)＜h(0)=0,[即x2–ln(x+1)＜x3恒成立.故当时,有f(x)＜x3..∵取则有∴,故结论成立。-9-\n20解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…………2分因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①……6分所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③…………8分所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝…………12分要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列．………16分综上所述，对任意正整数c，存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p，使得ap＝c.…………………16分-9-
