宝应县2022届高三数学第一次学习效果检测试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．（第5题图）开始输入结束1．设集合，，则=▲．2.已知为虚数单位，复数满足，则=▲.3.某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是▲.4.直线与平行,则实数▲．5．右图是一个算法流程图，若输入的值为则输出的值为▲.6．从0，2，3，4这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是▲.7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为▲．8.函数在恰好有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是▲．9.已知，则=▲．10.在等比数列中，为其前项和，已知，，则=▲．11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.上面命题中，所有真命题的序号为▲．12.在菱形中，,,,,则▲．13.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为▲．14.若不等式对任意都成立，则实数取值范围是▲．9二、解答题（共6道题，计90分）15．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、.已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．16.（本题满分14分）PABCDE在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，且PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求证：PC⊥；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P－ACE的体积V．917.（本题满分15分）以双曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆记为C.椭圆C长轴的左、右端点分别为A、B，点F是椭圆C的右焦点，点P在椭圆C上且位于轴上方，.错误！未找到引用源。（1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．18.（本题满分15分）如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米.AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问:如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？919．（本题满分16分）已知函数，其中．①若，，求的单调递减区间；②若在区间、内各有一个极值点，且恒成立，求的取值范围；③对于给定的实数、、，函数图象上两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点．20.（本题满分16分）在数列中，，且对任意的，成等比数列，且公比为.（1）若（），求；（2）若对任意的，成等差数列，其公差为，设.①求证：数列是等差数列，并求出其公差；②若，试求数列的前项和.答案一、填空题（每题5分，计70分）1.2.;3、194.;5.1;6.;7.;8.9.10.11.②④12.13.14.二、解答题（共6道题，计90分）15.（本题满分14分）9输出16.（本题满分14分）解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．取中点，连，∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．………2分∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，∴，∴，∴．∴．………5分∴PC⊥．………6分（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．…………………8分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．……………10分∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．…………………11分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．…………………8分∵E为PD中点，∴EC∥PN．…………………10分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．…………………11分(3)由(1)知AC＝2，．9在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得．…………13分则V＝．…………………14分17.（本题满分15分）解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2错误！未找到引用源。，半焦距c1=错误！未找到引用源。，∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，……………2分椭圆的短半轴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，∴所求的椭圆方程为错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。………4分（2）由已知错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，设点P的坐标为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。由已知得错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，解之得错误！未找到引用源。，………………7分由于，所以只能取错误！未找到引用源。，于是错误！未找到引用源。，所以点P的坐标为错误！未找到引用源。…………………9分（3）直线错误！未找到引用源。，设点M是错误！未找到引用源。，则点M到直线AP的距离是错误！未找到引用源。，于是错误！未找到引用源。，又∵点M在椭圆的长轴上，即错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。………11分∴当错误！未找到引用源。时，椭圆上的点到错误！未找到引用源。的距离错误！未找到引用源。………………13分又错误！未找到引用源。∴当错误！未找到引用源。时，取最小值错误！未找到引用源。………………15分18.（本题满分15分）解法1：分别以AB、AD所在直线为轴、轴建立直角坐标系，则圆弧DC的方程为：，设，圆柱半径为，体积为，则，，，…………………3分∴=，，…………………6分设，，，令，得，…………………10分当时，，是减函数；当时，，是增函数，9∴当时，有极大值，也是最大值，∴当米时，有最大值米3，此时米，………14分答：裁一个矩形，两边长分别为和，能使圆柱的体积最大，其最大值为。…………………15分解法2：设，则，，由，得，∴，…………………6分设，，，令，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，∴当时，有极大值，也是最大值。…………………10分以下略。…………………14分答：裁一个矩形，两边长分别为和，能使圆柱的体积最大，其最大值为。…………………15分19.（本题满分16分）解：（1）当，时，，解得，故递减区间为．………………3分（2），又区间，内各有一个极值点，所以，即，………………6分其中点是以，，为顶点的三角形内部的点，或线段BC（不含点C）、线段AB（不含点A）上的点．………………8分，即恒成立，即求9的最小值，由图知最小值在点处取，故，即．………………10分（3）因为，所以，所以，的斜率分别为：，．又直线与平行，所以，即，因为，所以，从而，所以．………………14分又由上，所以点，（）关于点对称．故当直线与平行时，点与点关于点对称．注：对称点也可写成．………………16分20.（本题满分16分）解：（1）∵，∴故是首项为1，公比为4的等比数列，…………………2分∴…………………4分（2）①∵成等差数列,∴而，…………………6分∴，则…………………8分所以，即：也就是∴数列是等差数列，其公差为1.…………………10分②因为，所以又解得或情形一：当时，，所以∴即，∴所以，9∴，∴…………………12分故…………………13分情形二：当时，，所以∴即，∴类似地，可求得∴，∴，…………………14分从而…………………15分综上所述，或…………………16分9
