第五次月考数学理试题【新课标Ⅰ版】一．选择题（5×12=60分）1.已知集合,集合,则=（）A.B.C.D.2．设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10B．12C．15D．303．已知函数则()A.B.C.D.4．下列命题错误的是()A.命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则”；B.若命题，则；C.中，是的充要条件；D.若向量满足，则与的夹角为钝角.5.右图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.6.()A．B.C.D.视的值而定7.曲线在点（1，-1）处的切线方程为（）A.B.C.D.8．若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是()A．B．C．或D．或9.已知函数为偶函数，，其图象与直线的某两个交点的横坐标为，若||的最小值为，则（）A.B.C.D.10.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，8则这个四棱锥的体积是（）A.1B.2C.3D.411．已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数的最小值为（）A．6B．8C．9D．12二．填空题(5×4=20分)13．已知复数满足，则_____.14．已知，，的夹角为60°，则．15.设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为.16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是．三．解答题(写出必要的文字说明和解答过程，共70分)17．（本小题满分12分）公差不为零的等差数列中，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式18．（本小题满分12分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．819．（本小题满分12分）第19题图在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．21.(本小题满分12分)设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）令＜≤，其图像上任意一点P处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．第22题图（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的长．823．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一．选择题（5×12=60）ACCDBACDABCB二．填空题（5×4=20）三．解答题(共70分)17．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)．……6分8(Ⅱ)．……12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为，则的可能取值为．………………1分；；；．………………5分乙得分的分布列如下：………………6分．………………7分（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.则，………………9分．………………11分故甲乙两人至少有一人入选的概率．……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，∴，易求得，…………4分∴四边形是平行四边形，∴，∴平面…………6分（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分中，，，．∴．即二面角的余弦值为.………12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，可求得．………………9分所以，8又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．……12分20.（本小题满分12分）（Ⅰ）由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；………………4分(Ⅱ)根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，，令，解得．………………7分设、两点的坐标分别为，ⅰ）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得．………………9分ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，此时，，所以，即……①又…………②将①代入②，消去得，解得或（舍去），将代入①，得所以，经检验，所求k值均符合题意。………………11分综上，k的值为和．………………12分822.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……………………2分又∵,∴,∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……………………5分（Ⅱ）∵,∴，∵∴由（1）可知：，解得.……………………7分∴．∵是⊙的切线，∴∴，解得．……………………10分823．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由，得所以曲线C的直角坐标方程为.……………………5分（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.设、两点对应的参数分别为、，则，，∴，当时，的最小值为4.……………………10分24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式等价于或解得：.即不等式的解集为．……………………5分（Ⅱ）不等式等价于，因为，所以的最小值为4，于是即所以或．…10分8
