广西南宁二中2022届高三下学期5月月考数学文试题一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，，则等于（ B ）A．B．C．D．解析：，，故得=.选B.2．对于非零向量“”是“”的（A）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：由得，故.反之不然.选A.3．函数（）的反函数是（D）A．B．C．D．解析：由（），知，且解得，即.（）的反函数是.选D.4.化简=（B）A．B．C．D．1解析：===.选B.5.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则；②若，且则；③若，则；④若，，且，则.其中正确命题的序号是(B)A.①④B.②③C.②④D.①③10\n解析：①当∥时，不一定成立所以错误.②成立.③成立.④当∥,∥时,可以相交,所6.若函数=（）的最小正周期为，则它的图象的一个对称中心为(A)A．B．C．D．解析：==，由（）的最小正周期为，知.令，得（），当时，有.选A.7.高三年级有6个班级参加学校运动会100米跑决赛，若在安排比赛赛道时不将甲班安排在第一及第二赛道上，且甲班和乙班不相邻，则不同的安排方法有（D）A．96种B．192种C．216种D．312种解析：甲班不排在第一及第二赛道，且不与乙相邻，可先排甲，当甲排在第六赛道时共有种，当甲排在第三、四或五赛道时共有种，总的安排方法有96+216=312种.选D.8．设二次函数的值域为，则的最大值为(Ａ)A．B．C．D．解析：因为二次函数的值域为，所以有，即，所以，所以=1.当时，等号成立，所以最大值为.选.10\nxOy19.已知的定义域为，的导函数的图象如右图所示，则（C）A．在处取得极小值B．在处取得极大值C．是上的增函数D．是上的减函数，上的增函数解析：依题意，在成立，故是上的增函数.选C.10.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（B）A．B．C．D．解析：点在抛物线的准线上，可得p=4.依据题意，可得双曲线的左顶点为，即.点在双曲线的渐近线上，则得双曲线的渐近线方程为.由双曲线的性质，可得.，则焦距为.选B．·OABC11．如图，在半径为3的球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是（B）A．B．C．D．解析：所在小圆的半径为=，.在，，得.、两点的球面距离是10\n.选B.12.定义在上的函数满足，当时，，则有（C）A.B.C.D.解析：由得.当时，有，这时.于是的图象如图所示.由它的单调性及可知.选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知等比数列满足，且成等差数列，则=.解析：设数列的公比为，则，.由已知得，即，得，解得，或（舍去）.，=4.14.若的展开式中第三项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数和为.解析：展开式的通项公式为，知，解得.展开式中所有项的系数和为=.10\n15.已知为坐标原点，点.若点为平面区域上的动点，则的取值范围是.解析：作出所表示的平面区域，知目标函数的取值范围是.16.设在中，角所对的边长分别为，给出下列条件：①；②；③；④.则能推出为锐角三角形的条件有④.(写出所有正确答案的序号)解析：由，得，知为钝角；由，知；由及正弦定理，得.或；由，得，，即.，，从而，即，得，知均为锐角.三、解答题：本大题共6小题，，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设是锐角三角形，、、分别是内角、、所对边长，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若的面积等于，，求、（其中）.10\n解：（Ⅰ），，即，.又是锐角三角形，，从而.…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知，得的面积=，①.由余弦定理知，，将及代入，得②由①、②可得.因此是一元二次方程的两个根，解此方程并由知，.…………………10分PCABDM18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅰ）证明：取的中点，的中点，连接，，.在菱形中，由于，为正三角形，则，又，故平面，从而.又，，，则四边形为平行四边形，所以.在中，，，故，所以平面.…………………6分10\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由题意知，又为的中点，，面，，则为二面角的平面角.在中，易得，又，，，从而，故所求二面角的余弦值为.…………………12分(注：若运用空间向量解答，可参照上述解法赋分)19.（本小题满分12分）某中学开设有A、B、C等三门选修课程，设每位申请的学生只申请其中一门课程，且申请其中任一门课程是等可能的，求该校的任4位申请的学生中：（Ⅰ）没有学生申请A课程的概率；（Ⅱ）每门课程都有学生申请的概率.解（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，而没有学生申请A课程的申请方式有种.记A=“没有学生申请A课程”，则=.…………………5分（Ⅱ）所有可能的申请方式有种，而每门课程都有学生申请的申请方式有（或）.记B=“每门课程都有学生申请”，则（或）.……………12分20.（本小题满分12分）已知函数（）.（Ⅰ）若数列满足（）且，证明数列为等差数列；（Ⅱ）令（），求数列的前项和.10\n（Ⅰ）证明：由及，得，即.若，则有.由此推得与已知矛盾，.（，）.为以1为首项，为公差的等差数列.…………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得.数列的通项公式是，==，===.…………………12分21.（本小题满分12分）已知是函数=的一个极值点，其中，.（Ⅰ）求与的关系表达式；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.解：（Ⅰ）=，依题意有=，得；………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得===.10\n，当时，；当或时，.的单调递增区间是，单调递减区间是和；……………8分（Ⅲ）根据题意，=在时恒成立.即在时恒成立.，解得.…………………12分22.（本小题满分12分）已知是椭圆：的右焦点，过点且斜率为（）的直线与椭圆交于、两点，是关于轴的对称点.（Ⅰ）证明：点在直线上；（Ⅱ）设，求外接圆的方程.解：（Ⅰ）设直线：，，，，，由，得.又，则，所以，.而=，，所以==，与共线且有公共点，、、三点共线，即点在直线上.10\n…………………6分（Ⅱ）因为，，所以=====.又，解得，满足.代入，知是方程的两根，根据对称性不妨设，，即，，.由，关于轴的对称，知外接圆圆心一定在轴上，设外接圆的方程为，把代入方程得，即外接圆的方程为.…………………12分10
