广西南宁二中2022届高三下学期5月月考数学理试题一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设，是虚数单位，且是实数，则（ B ）A．B．1C．D．2解析：==，依题意，有，故.选B.2．对于非零向量“”是“”的（A）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：由得，故.反之不然.选A.3．函数的单调递减区间为（C）A．B．和C．D．解析：，，由，解得或.又，.选B.4.化简=（B）A．B．C．D．1解析：===.选B.5.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则；②若，且则；③若，则；④若，，且，则.其中正确命题的序号是(B)A.①④B.②③C.②④D.①③解析：①当∥时，不一定成立所以错误.②成立.③成立.④当∥11\n,∥时,可以相交,所以错误.选.6.若函数的图象向右平移（）个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是(C)A．B．C．D．解析：=，函数的图象向右平移（）个单位长度后，所得的函数解析式为.要使所得的图象关于轴对称，则有，，即（），所以当时，取得最小值.选C.7.高三年级有6个班级参加学校运动会100米跑决赛，若在安排比赛赛道时不将甲班安排在第一及第二赛道上，且甲班和乙班不相邻，则不同的安排方法有（D）A．96种B．192种C．216种D．312种解析：甲班不排在第一及第二赛道，且不与乙相邻，可先排甲，当甲排在第六赛道时共有种，当甲排在第三、四或五赛道时共有种，总的安排方法有96+216=312种.选D.8．设二次函数的值域为的值域为，则的最大值为()A．B．C．D．解析：因为二次函数的值域为，所以有，即，所以，所以=1.当时，等号成立，所以最大值为.选.11\n9.已知，且，则下列结论正确的是(D)A．B．C．D．解析：构造偶函数，，则，当时，.在上单调递增，在上单调递减.由已知，得，.选D.10.已知直线：（）与抛物线：交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是(C)A．B．C．D．解析：依题意，直线（）恒过定点（2，0）即为抛物线的焦点F.过两点分别作准线的垂线，垂足分别为，再过作的垂线，垂足为，设.∵，∴.∴，.如图，在直角三角形中，，，∴.∴直线AB的斜率.选C.11\nABCDE11．如图所示，在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿向上翻折，使重合，则形成的三棱锥的外接球的体积为（A）A．B．C．D．A(B)CDE解析：由已知，在平面图形中，，依题意折叠后得到一个正四面体，如图.构造一个面对角线长为1的正方体（棱长为），则这个正方体与所得正四面体有同一外接球.易得正方体的外接球直径等于，半径等于.球的体积为.选A.12．设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间(－2，6]内关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是(D)A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(1,)D．(,2)解析：∵对于任意的，都有，∴函数是一个周期函数，且T=4．又∵时，，且函数是定义在上的偶函数，若在区间(－2，6]内关于x的方程恰有个不同的实数根，则函数与在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：11\n又，则有，且.解得：.选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若的展开式中第三项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数和为.解析：展开式的通项公式为，知，解得.展开式中所有项的系数和为=.14.已知关于的方程的两根分别为、，且，则的取值范围是.解析：设=，依题意有且，作出点所满足的区域，易得.15.已知数列满足（）且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是.解析：由已知递推式变形得，则，即.于是===，因此=，.满足条件的最小整数.11\n16.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与左支交于、两点，若，，则双曲线的离心率是.解析：由4｜｜=3｜︱,可设｜｜=,｜︱=,由,所以｜︱=,于是由双曲线定义,得4-｜︱=,5-｜︱=,两式相加得-｜︱=,所以,所以｜︱,又+=,所以+,.三、解答题：本大题共6小题，，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设是锐角三角形，、、分别是内角、、所对边长，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若的面积等于，，求、（其中）.解：（Ⅰ），，即，.又是锐角三角形，，从而.…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知，得的面积=，①.由余弦定理知，，将及代入，得②11\n由①、②可得.因此是一元二次方程的两个根，解此方程并由知，.…………………10分PCABDM18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅰ）证明：取的中点，的中点，连接，，.在菱形中，由于，为正三角形，则，又，故平面，从而.又，，，则四边形为平行四边形，所以.在中，，，故，所以平面.…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由题意知，又为的中点，，面，，则为二面角的平面角.在中，易得，又，，，从而，故所求二面角的余弦值为.…………………12分19.（本小题满分12分）某中学开设有A、B、C等三门选修课程，设每位申请的学生只申请其中一门课程，且申请其中任一门课程是等可能的，求该校的任4位申请的学生中：（Ⅰ）恰有2位学生申请A课程的概率；（Ⅱ）学生申请的课程门类数的数学期望.11\n解（Ⅰ））所有可能的申请方式有种，恰有2位学生申请A课程的申请方式有种，从而恰有2位学生申请A课程的概率为.…………………4分（Ⅱ）依题意知所有可能值为1，2，3，得，，.综上知，有分布列123P从而有=.…………………12分20.（本小题满分12分）已知等差数列的各项均为正数，，前项和为，数列为等比数列，，且，.(1)求与；(2)记数列的前项和为，且=，求使成立的所有正整数.解(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则由题意可列方程组…………………2分把,代入上式解得或11\n等差数列的各项均为正数,舍去,…………………5分(2)由(1)可得则…+=(+…+=(+=…………………9分=〔〕=,即=,解得…………………12分21.（本小题满分12分）已知是椭圆：的右焦点，过点且斜率为（）的直线与椭圆交于、两点，是关于轴的对称点.（Ⅰ）证明：点在直线上；（Ⅱ）设，求外接圆的方程.解：（Ⅰ）设直线：，，，，，由，得.又，则，所以，11\n.而=，，所以==，与共线且有公共点，、、三点共线，即点在直线上.………………………………6分（Ⅱ）因为，，所以=====.又，解得，满足.代入，知是方程的两根，根据对称性不妨设，，即，，.由，关于轴的对称，知外接圆圆心一定在轴上，设外接圆的方程为，把代入方程得，即外接圆的方程为.……………………………………12分22.（本小题满分12分）已知函数=.11\n（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）证明：（）（Ⅰ）解：函数的定义域为，.当时，，则在上是增函数；当时，若，则；若，则.所以在上是增函数，在上是减函数.…………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知时，则在上是增函数，而，不成立，故.当时，由（Ⅰ）知的最大值为，要使恒成立，则需=，解得.…………………8分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，，所以在上恒成立.令，则，即，从而.所以=.（证毕）…………………12分11
