蕉岭中学2022届高三摸底考试数学（文科）试题考试用时:120分钟总分:150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则集合A∩B=（）A．B．C．D．2.欧拉公式(i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．等差数列的前项和为，，且，则的公差为（）A.1B.2C.3D.44．若变量满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．5．下列判断错误的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.若为假命题，则均为假命题C.命题“”的否定是“”D.“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题-10-6．函数的图象大致是（）7.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．8.袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1、2、3；蓝色球2个，标号分别为1、2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．9.把曲线：上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，则关于（）对称A.直线B．直线C．点D．点10.在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（）A．2B．3C．4D．611．已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则四边形的面积为（）-10-A．B．C．D．12．定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式(其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C.D．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式可能为．14.设向量,若，则=________.15.函数且的图象恒过定点，若点在直线,上，其中，则的最小值为_______．16.三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求证：对任意的，.18．(本小题满分12分)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30-10-名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有6人663120选考方案待确定的有8人540121女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人540011（1）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？（2）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）（3）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.19.(本小题满分12分)在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.20.(本小题满分12分)已知点，圆，点是圆上一动点，线段的垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设的轨迹为曲线，曲线与曲线的交点为，求（为坐标原点）面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，.-10-请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式对任意的恒成立，求正实数的最小值.-10-蕉岭中学2022届高三摸底考试数学（文科）试题参考答案1~12CBAABBDBBCDA13.;14.;15.;16..17.解：（1）当时，-------------------------1分①-②得----------------------------------------------2分,-----------------------------------3分，-------------------------------------------------------4分当时，也满足上式，------------------------------------5分所以．----------------------------------------------------6分 （2）因为，-------------7分.--------------------9分因此，----------------------------11分所以.---------------------------------------------------------------12分18.解：（1）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为因为在选考方案确定的学生的人中,选生物的频率为.............2分所以选择生物的概率约为所以选择生物的人数约为人...........4分（2）2人..........................................................................................................................................6分（3）设选择物理、生物、化学的学生分别为-10-选择物理、化学、历史的学生为,选择物理、化学、地理的学生分别为.................7分所以任取2名男生的基本事件有.共15个................................9分所以两名男生所学科目相同的基本事件共有4个,分别为..............10分所以，---------------------------------------------------------------------------------------11分答：从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率为.......要答.........12分19.证明(1)四边形是矩形，有所以，--------------------------1分又，---------------------------------------------------2分又，，--------------------------------------3分又，---------------------------------------------4分(2)连结交于点，则是的中位线，-------------5分故，----------------------------------------------------------------6分又，，---------------------------7分所以----------------------------------------------------8分（3）---------------12分20.解：（1）由已知得，所以，-10-又，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于6的椭圆，所以点的轨迹方程是．--------------------------------4分（2）设点，则，设直线交轴于点，由对称性知.------------------------6分由解得，------------------------------7分∴.--------------------------10分当且仅当，即时取得等号，所以面积的最大值为．-----------12分21.解：(1)函数的定义域为由，得…………………1分因为，则时，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增．…………………………2分当时，…………………………3分当，即时，又，则函数有零点．……………4分所以实数的取值范围为……………………5分（亦可用分离常数结合图象求解）(2)要证明当时，，即证明当时，，即.……………………6分-10-令，则当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增．当时，………………………7分于是，当时，①……………………………8分令，则当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，………………………9分于是，当时，②……………………………10分显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…………………………11分故当时，………………………………12分22.解：(1)由消去得.………………………1分所以直线的普通方程为……………………2分由，………3分得……………………4分将代入上式，得曲线的直角坐标方程为，即．…………5分(2)设与直线平行的直线为.………………………6分当直线与圆相切时，得，………………………7分解得或（舍去），-10-所以直线的方程为……………………8分所以直线与直线的距离为.……………………9分所以曲线上的点到直线的距离的最大值为…………………………10分（或用参数方程求解亦同样给分）23.解：（1），由条件得，得或，又不等式的解集为，所以．-----------------------------------5分（2）原不等式等价于，而，所以，即恒成立，又，所以，当且仅当时取等号．故正实数的最小值为4．-----------------------------------10分-10-
