蕉岭中学2022届高三摸底考试试题数学（理科）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的性名、考号填写在答题卡相应位置上.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合,，则等于()A．B．C．D．2．设为虚数单位，则复数的虚部为()A.B.C.D.3．在各项都为正数的数列中,首项，且点()在直线上,则数列的前n项和等于()A.B.C.D.广告费23456销售额29415059714．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为万元时的销售额约为()A．B．C．D．5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为()-10-第5题图结束A．6B．25C．100D．4006.在区域内任意取一点，则的概率是（）A.B.C. D.6.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（）A.B.C.D.8.已知在锐角中，角的对边分别为,且.则的值为（）A.B.C.D.9.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（）A.4B．C．D．10.已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为()A.B．C．D．11.过正方体的顶点作平面，使棱，，所在直线与平面所成的角都相等，则这样的平面可以作（）A．4个B．3个C．2个D．1个12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数-10-的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知平面向量的夹角为，且．则．14.已知，则的展开式中，常数项为．15.如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是.16.对于任一实数序列，定义为序列，它的第项是，假定序列的所有项都是，且，则．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题图17.（本小题满分12分）如图，已知中，角的对边分别为，．（1）若，求面积的最大值；（2）若，求.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，.（1）证明：平面平面；-10-（2）求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：·＝－，求实数m的取值范围．20.（本小题满分12分）由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了两个地区的名观众，得到如下的列联表：非常满意满意合计合计已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.(1)现从名观众中用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少.(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.(3)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：21.（本小题满分12分）-10-已知(1)求函数的极值；(2)设，对于任意，总有成立，求实数的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）；直线与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,(1)解不等式；(2)若不等式的解集为,，且满足,求实数的取值范围.-10-蕉岭中学2022届高三摸底考试参考答案数学（理科）1—12:BDACCBCADCAD13.14.15.16.100017(12分)解：（1）由余弦定理得,………………………………………2分，当且仅当时取等号；解得，………………………………………………………………………………………4分故，即面积的最大值为.………………6分（2）因为，由正弦定理得，…………………………………………8分又，故，，…………………………………………10分，.………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，．取的中点为，连结，．在中，，，所以．------1分在中，，，所以．------2分所以，，即．------3分∵∴面．又面，所以面面．------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且所以面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：-10-，，，------8分设平面，的法向量分别为，则，则，------9分，则，------10分，所以二面角的余弦值为．------12分19．(1)由e＝，可设椭圆C的方程为＋＝1，点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，等价于点P在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.------5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则①.------7分设△AOB的重心为G(x，y)，由·＝－，可得x2＋y2＝.②由重心公式可得G，代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③将①式代入③式并整理，得m2＝，------10分则m2＝＝1＋＝1＋.又由Δ>0可知k≠0，令t＝>0，∴t2＋4t>0，∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).------12分20.解：(1)由题意，得，所以，所以，因为，所以-10-，，------2分A地抽取，B地抽取，------4分非常满意满意合计合计(2)所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.------8分(3)从地区随机抽取人，抽到的观众“非常满意”的概率为随机抽取人，的可能取值为，,------12分21.解：(1)所以的定义域为单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以的极小值为：，极大值为：；------4分(2)由(1)可知当时，函数的最大值为对于任意，总有成立，等价于恒成立，-10-------6分①时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意.----9分②当时，设，，所以在上单调递增，且，则存在，使得所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以不恒成立，不合题意.----11分综合①②可知，所求实数的取值范围是.----12分解法2：用分离参数法，再用若必达法则求函数在处的极限值，从而确定a的范围，给满分解法3：用来控制，再证明当时恒成立，给满分.选修4-4：坐标系与参数方程22.解：(1)因为曲线的参数方程为（为参数），故所求方程为…….2分因为，，故曲线的极坐标方程为…….5分（两种形式均可）(2)联立和，得，设、，则，……7分由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为……10分-10-选修4-5：不等式选讲23.解:(1)可化为，或，或…….3分，或，或；不等式的解集为；……5分(2)易知；所以，所以在恒成立；在恒成立；在恒成立；…7分…..10分-10-
