湛江一中2022-2022学年度第一学期第二次考试高二级理科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．“至多有三个”的否定为（）A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．如果命题“”是假命题，则下列说法正确的是( )A．均为真命题B．中至少有一个为真命题C．均为假命题D．至少有一个为假命题3．“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知椭圆的焦点是，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线5．“”是“方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )A．B．C．D．7．已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为( )A．B． C．D．8．若圆心在轴上，半径为的圆位于轴左侧，且被直线截得的弦长为，则圆的方程是( )A．B．C．D．9．已知，则有( )A．最大值为B．最小值为9\nC．最大值为D．最小值为10．在以为中心，为焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．11．已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为( )A．5B．7C．13D．1512．点在直线上，若存在过点的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C．直线上的所有点都不是“点”D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“点”二．填空题：本大题共四小题，每小题5分,共20分．13．设满足约束条件，则的取值范围为______.14.已知双曲线的右焦点的坐标为，则该双曲线的渐近线方程为_________.15．过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若，则．16.若关于的不等式对任意在上恒成立，则实常数的取值范围是________．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分)已知命题“”，命题“”．若命题“”是真命题，求实数的取值范围．9\n18．(本小题满分12分)在中，,.（1）求的值；(2)设，求的面积19．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．点在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：；(3)求的面积．20．(本小题满分12分)设数列的前项和，数列的前项和为，满足．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．B第21题图xyOAQP21.(本小题满分12分)如图,直线与抛物线交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线交于Q点.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,求面积的最大值.22.（本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点．9\n第22题图xOyBPEA（1）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．第18题湛江一中2022-2022学年度第一学期第二次考试高二级理科数学参考答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．B2．B3．A4．A5．B6．C7．A8．B9．C10．C11．B12．A12．解:设，则，∵在上，∴消去,整理得关于的方程（1）∵恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.第Ⅱ卷二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13． 14． 15． 16．9\n16.解：由题意得，，∴或.又，．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．解：，……………………3分，则，得或.------------------6分若“”是真命题，则是真命题且是真命题，----8分即或，或.……………………10分18.解：（1）由，且，∴，………2分∴，……………………………3分∴，…………………………5分又，∴……………………6分（2）由正弦定理得……………………7分∴，…………………9分又…………………11分∴………12分9\n19.解：(1)∵，………1分∴可设双曲线方程为．………………2分∵双曲线过点，∴，即…………3分∴双曲线方程为.……………………4分(2)由(1)可知，在双曲线中，∴，∴．………………5分∴，………………………6分又∵点在双曲线上，∴.∴……………………7分∴…………………8分(3)由(2)知∴为直角三角形．又，，或，由两点间距离公式得，，………10分＝．即的面积为6.………………………12分20．解：(1)当，由已知有……………………………3分（2）时有①②……………4分①-②得：③………………………5分9\n再向后类推一次④………………………6分③-④得：则………………………8分……………………………………………10分是以3为首项，公比为2的等比数列…………11分……………………12分21.解：(1)解方程组得或-------2分即,从而AB的中点为.------------------3分由,直线AB的垂直平分线方程令,得-----------------4分(2)直线OQ的方程为,设.-------------------5分∵点P到直线OQ的距离=,----------7分,∴==.---------------8分∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴或.----------10分∵函数在区间上单调递增,∴当时,的面积取到最大值.------------------12分第18题22.解：（1）将代入，解得，--------------1分因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，------------------------2分9\n又过原点，于是，，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，-------------------4分---------------------------------------5分（2）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有--------6分当直线与轴垂直时，，------------7分由，解得，，所以若存在点，此时，为定值2．-----8分根据对称性，只需考虑直线过点，设，，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，，------------9分又，所以，------------11分9\n将上述关系代入，化简可得．综上所述，存在点，使得为定值2．-------12分9
