湛江一中2022—2022学年度第一学期第二次考试高二级文科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共12题，每道题5分，共60分）1．设集合( )A．B．C.D．2．( )A．B．C.D.3.数列…的一个通项公式＝( )A. B.C.D.4.设，则命题是命题的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．命题“存在”的否定是( )A．存在B．不存在C．对于任意D．对于任意6．已知等差数列的公差为,且,若,则( )A.8B.4C.6D.127．在，则边的边长为( )9\nA.B．3C.D．78.已知公比为2的等比数列中，，则( )A．12B．18C．24D．69.已知命题p:,则下列结论正确的是( )(A)命题p∧q是真命题(B)命题是真命题(C)命题是真命题(D)命题是假命题10．不等式的解集为( )A．B．C．D．11．已知数列满足，则的前10项和等于( )A.B.C．D．12．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D．3二、填空题（共4题，每道题5分，共20分）13.已知都是正数，如果，则的最小值是________；14.在中，若，则必是______(填锐角，钝角，直角)三角形．9\n15．设变量满足约束条件：则的最小值为____________.16．给定下列命题：①“若有实数根”的逆否命题；②“若”的逆命题；③“若2”的逆否命题；④“若，则中至少有一个为零”的否命题．⑤“若”的逆命题。其中真命题的序号是________．三、解答题（共6题，共70分）17.(本小题满分10分)在锐角中，、分别为角所对的边，且(Ⅰ)确定角的大小；（Ⅱ）若,且的面积为，求的值.18．(本小题满分12分)(1)求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．(2)求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点的椭圆的标准方程；19.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.9\n(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用.(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.20．(本小题满分12分)设p：实数x满足，其中，q：实数x满足(1)若，且为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21、(本题满分12分)数列的前项的和为,对于任意的自然数，.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求通项公式；（Ⅱ）设，求和.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.（i）设直线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；9\n（ii）求面积的最大值.湛江一中2022—2022学年度第一学期第二次考试高二级文科数学答案一、选择题（共12题，每道题5分，共60分）123456789101112ABBBDAACCACB二、填空题（共4题，每道题5分，共20分）13、14、钝角15．－816．①③④三、解答题（共6题，共70分）17.(本小题满分10分)解：（Ⅰ）∵由正弦定理得…………………2分∴………………………4分（Ⅱ）………………6分………………………………7分由余弦定理得………………………………9分……………………………………10分18．(本小题满分12分)解:（1）已知方程为＋＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝＝，…………………………1分因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，………………3分离心率e＝＝，两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，…………5分椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．………6分(2）由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．………………7分由椭圆的定义知2a＝＋＝8，…………………9分9\n所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.……………………………10分又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分批,每批价值为20x元,由题意f(x)=×4+k·20x.……………3分由当x=4时,f(4)=52得………………………………4分∴f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).………………………………6分(2)知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),…………9分当且仅当=4x,即x=6时,等号成立.………………………………11分故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.………………………………12分20．(本小题满分12分)解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，………………………………1分当a＝1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.……2分由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.…4分若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是.………6分(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，………………………………7分又B＝(2,3]，当a<0时，A＝(3a，a)．显然A∩B＝∅，不合题意．…………9分当a>0时，A＝(a,3a)；，有解得1<a≤2；………………………11分综上所述，实数a的取值范围是.………………………………12分21、(本题满分12分)解：（1）令--------1分（2）-(1)--------------------------3分9\n是等差数列-----------------------5分-----------------------------6分（2）-------①-----②--------------------------8分①-②------------------10分所以-------------------------------12分22.(本小题满分12分)解：(1)---------1分设直线与椭圆交于两点.不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点.----------------------2分-----------------------3分(2)(i)设，则，9\n直线AB的斜率，又,故直线AD的斜率--------4分设直线AD的方程为，由题意知.由可得.------------------5分所以因.-----------6分由题意知所以所以直线BD的方程为.------------------------------7分令y=0，得，可得，所以.因此存在常数使得结论成立.----------9分（ii）直线BD的方程为.令x=0得，即，-----------------------10分由（i）知，可得的面积.---11分因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积为最大.--------------------12分9\n9
