江门市2022年普通高中高二调研测试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，测试用时120分钟。不能使用计算器．注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．方差公式．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数A．B．C．D．⒉已知，，且，则A．B．C．D．⒊是等比数列，首项，前项和，则公比A．B．C．或D．频率/组距0.070.060.040.020.010202530354045年龄(岁)图1⒋某地为了解参加培训教师的年龄结构，随机调查了100名教师的年龄，得到如图1所示的频率分布直方图，则年龄在的频率为A．0.06B．0.07C．0.13D．0.65⒌在中，已知向量，，则A．B．C．D．⒍空间中有、、、、、共6个点，其中任何4个点都不在同一平面上，则以其中4个点为顶点的三棱锥共有A．个B．个C．个D．个⒎、是正方体的棱、的中点，如图2是用过、、和、、的平面截去两个角后所得几何体，该几何体的主视图是8A．B．C．D．图2⒏已知、都是定义在上的函数，，，（且），且，对于有穷数列（，，…，），任取正整数（），它的前项和大于的概率是A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）否是开始输出结束图3⒐已知命题：，，则命题的否定为：．⒑的展开式中，常数项是．⒒执行如图3所示的程序框图，输出的的值为．⒓若，满足约束条件，则的最大值为．⒔设函数，观察：，，，，……由以上事实归纳推理可得：当且时，．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）8⒕若双曲线上的点到点的距离为，则到点的距离为．⒖一物体沿直线以（的单位：，的单位：）的速度运动，则该物体在～间行进的路程是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）的三个内角、、对应的三条边长分别是、、，且满足．⑴求角的大小；⑵若，，求．⒘（本小题满分14分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：文艺节目新闻节目总计20至40岁401656大于40岁202444总计6040100⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由；⑶已知在大于40岁收看文艺节目的20名观众中，恰有8名又收看地方戏节目．现在从这20名观众中随机选出3名进行其他方面调查，记选出收看地方戏节目的人数为，求的分布列与数学期望．参考公式与临界值表：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828⒙（本小题满分14分）图4如图4，是四棱柱，底面，，，，．8⑴求证：平面；⑵求平面与平面所成二面角的大小．⒚（本小题满分12分）已知是递增的等差数列，它的前三项的和为，前三项的积为．⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和．⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为。椭圆的中心在坐标原点，离心率，并以为一个焦点．⑴求椭圆的标准方程；⑵设是椭圆的长轴（在的左侧），是抛物线在第一象限的一点，过作抛物线的切线，若切线经过，求证：．21．（本小题满分14分）已知函数，是常数．⑴若，求函数的单调区间；⑵若函数存在最大值，求的取值范围；⑶若对函数定义域内任意、（），恒成立，求的取值范围．评分参考一、选择题BACDADBC二、填空题⒐（3分），⒑（负号1分，“252”3分）8⒒⒓⒔（分子1分，分母每项2分）⒕⒖（数值4分，单位1分）三、解答题⒗⑴由正弦定理……2分，得……3分，由已知得，……4分，因为，所以……5分⑵由余弦定理……7分，得……9分，即……10分，解得或……11分，负值舍去，所以……12分⒘⑴应抽取大于40岁的观众人数为（名）……3分（列式2分，计算1分）⑵根据列联表中的数据，得……7分（列式2分，计算1分，判断1分）所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关……8分⑶的可能值为0、1、2、3……9分，，，……11分（每个0.5分，四舍五入）0123的分布列为……12分的数学期望……14分（每个等号1分）⒙⑴底面，所以……1分，取的中点，连接……2分，则是正方形，……3分，又，，所以，……4分，因为，所以平面……5分．8⑵（法一）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……6分，则，，，，……7分，，，……8分，由⑴知，平面的一个法向量为……9分，设平面的一个法向量为，则，即……11分，不妨设，则，，从而……12分，设所求二面角的大小为，则……13分，，所求二面角的大小为……14分．（法二）取的中点，连接、、……6分，则、，因为，所以平面与平面……7分，所以平面与平面所成二面角等于平面与平面所成二面角……8分。设，，连接，作，垂足为，连接，由⑴知平面，，，所以平面……9分，，是平面与平面所成二面角……10分。设，则……11分，其中，，，，代入解得……12分，在中，，，……13分，所以，所求二面角的大小为……14分．⒚⑴设的公差为（），依题意，……2分，即，解得或……4分，因为，所以，的通项……5分⑵由⑴得，；，……6分；当时，，8……7分，所以，……8分当时，……9分，……11分，综上所述，……12分．⒛⑴依题意，设椭圆的标准方程为（）……1分，，所以，……2分，，……3分，，所以……4分，……5分，所以椭圆的标准方程为……6分⑵抛物线在第一象限的部分可看作函数的图象……7分，依题意，不妨设（），因为……8分，所以切线的斜率……9分，：……10分，由⑴得，代入解得……11分，则，……12分，……13分，在中，，，是直角，所以……14分．21．⑴的定义域为……1分时，，……2分解得。当时，，即在单调递增……3分；当时，，即在单调递减……4分。⑵若，则，单调递增，不存在最大值……5分8若，则，单调递减，不存在最大值……6分若，由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减……8分，所以在取得最大值，所求的取值范围为……9分⑶由得……10分，依题意，且，所以……11分，是增函数，所以……12分，……13分，所求的取值范围为……14分．8
