江门市2022年普通高中高二调研测试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分，测试用时120分钟。不能使用计算器．注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．方差公式．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知是虚数单位，复数A．B．C．D．⒉在平面直角坐标系中，若点在运动过程中满足关系式：，则点的轨迹是A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线⒊已知等差数列，，，则的公差A．B．C．D．频率/组距0.190.150.090.050.0224681012样本数据图1⒋一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图1所示．根据频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12]的频数为A．B．C．D．⒌“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件⒍已知、是互相垂直的单位向量，若，，则A．B．C．D．7⒎在圆上，且到直线距离最小的点的坐标是A．B．C．D．⒏已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中，正确命题的个数是A．B．C．D．⒐的内角、、所对的边分别为、、，若，则下列结论一定成立的是A．B．C．D．⒑已知是增函数，常数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）⒒双曲线的焦距是．⒓若变量，满足，则的最大值是．⒔观察下列算式：……若某个按上述规律展开后，等式右边含有2022，则的最小值为．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为．⒖（几何证明选讲选做题）已知、是圆的切线，切点为、，若7是边长为1的等边三角形，则圆的半径．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）的角、、所对的边分别为、、，已知、、．⑴求的面积；⑵求边上的高．⒘（本小题满分14分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，每位观众必须且只能选择其中一个节目，随机抽取了100名电视观众，得到如下不完整的列联表：文艺节目新闻节目总计20至40岁16大于40岁20总计100已知从这100名观众中再随机抽取1人，抽到收看文艺节目的人的概率为．⑴请将上面的列联表补充完整；⑵用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？⑶是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由．参考公式与临界值表：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828⒙（本小题满分13分）如图2，P－ABCD是底面水平放置且在正面的正四棱锥，已知，．图2⑴画出这个正四棱锥的正视图（或称主视图），并直接标明正视图各边的长；⑵求该四棱锥的体积．7⒚（本小题满分13分）已知数列的首项，，．⑴求证：是等比数列；⑵设，求数列的前项和．⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，椭圆的中心在坐标原点，离心率，且是椭圆的一个焦点．⑴求椭圆的标准方程；⑵过作垂直于轴的直线，与椭圆相交于、两点，试探究在椭圆上是否存在点，使为直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数，是常数．⑴若，求这个函数的图象在处的切线方程；⑵求在区间上的最小值．评分参考一、选择题CABCBDABDC二、填空题⒒⒓⒔⒕⒖三、解答题⒗⑴因为，，所以……3分（说理1分）所以……6分（公式2分，求值1分）⑵……9分（公式2分，求值1分）7，所以……12分（公式2分，求值1分）405624446040⒘⑴……4分（对1个1分、2个2分，第3-6个每个0.5分，本小问合计分数四舍五入）⑵应抽取大于40岁的观众人数为（名）……8分（列式2分，计算1分，单位1分）⑶根据列联表中的数据，得……12分（列式2分，计算1分，判断1分）所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关……14分⒙⑴（如图）……6分（等腰三角形3分，底边长1分，腰长2分）⑵连接AC、BD，设，连接PO……7分因为P－ABCD是正四棱锥，所以平面……8分……9分，……10分所以，该四棱锥的体积……13分（每个等式1分）⒚⑴（法一）依题意……2分，……3分，且……4分，所以，是等比数列……5分（法二）设……1分，则，……2分，所以，……3分，，……4分，所以，即是等比数列……5分⑵由⑴得……6分，，……7分，设数列的前项和为，即……8分……9分其中……10分记，则……11分，7两式相减得……12分所以……13分⒛⑴依题意，设椭圆的标准方程为（）……1分，，所以，……2分，，……3分，，所以……4分，……5分，所以椭圆的标准方程为……6分⑵由⑴得时，，不妨设、……7分，若，则直线：……8分，解方程组或由椭圆的对称性可得……9分，若，同理可得……11分，若，设（且），因为垂直于轴，所以、与坐标轴不平行，，……12分，又，消去变量得……13分，解得或，因为且，所以或均不满足要求，即椭圆上不存在点，使。综上所述，点的坐标为，……14分．21．⑴时，，……1分，……2分，……3分，所求切线方程为，即……4分⑵依题意，，……5分，①时，因为，，所以（等号当且仅当时成立）……6分，所以在区间单调递增，最小值为……7分②时，因为，所以（等号当且仅当时成立）……76分，所以在区间单调递减，最小值为……9分③时，解得（负值舍去）……10分，－0+↘最小值↗……13分，（第2、3、4列每列1分）在区间上的最小值为。综上所述，时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为……14分．7
